[2018年必威体育精装版整理]3-2柯西积分定理课堂.pptVIP

第二节 柯西积分定理 一、问题的提出 二、柯西积分定理 三、原函数与不定积分 四、复合闭路定理 * 一、问题的提出 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 观察例2, 此时积分与路线无关. * 观察上节例4, 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性. * 二、柯西积分定理 柯西积分定理 定理中的C 可以不是简单曲线. * 其中D是C所围内部，C取正向 * 关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 D 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 D的边界, 定理仍成立. * 例1 例2 * 例3 解 根据柯西积分定理得 * * 由此可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图) 推论 * * 结论 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似. * 1. 原函数的定义: 三、原函数与不定积分 * 那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: 原函数之间的关系: * 2. 不定积分的定义: 定理 (类似于牛顿-莱布尼兹公式) * 例1 例2 例3 * 四、复合闭路定理 复合闭路： * * 例1 解 依题意知, * 根据复合闭路定理, * 例2 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, * 例3 解 * 由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为 不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线 内即可. * 例4 * 课后作业