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第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量 §2 边缘分布 §3 条件分布 §4 相互独立的随机变量 §5 多个随机变量的函数的分布 §3 .1 二维随机变量及其分布 定义：设 E 是一个随机试验，样本空间为 S={e}， X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的两个随机变量。称 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量， 或二维随机变量。一般用(X, Y) 或 (ζ,η) 示。 说明： 例子 二、联合分布函数 二维分布函数的几何意义 分布函数的性质： （1）F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 n 维随机变量 n维随机变量的分布函数 三、二维离散型随机变量 2.二维离散型随机变量的联合分布律 3.联合分布函数 例 1　设有10件产品中有2件是次品，从中依次随机地不放回地取两件，若以X,Y分别表示第一次，第二次的次品数，求(X,Y)的联合分布率． 例2　将一枚硬币抛掷3次，令X表示3次抛掷出现正面的次数，Y表示3次抛掷出现正面的次数与反面出现次数差的绝对值，求(X,Y)的联合分布率． 四、二维连续型随机变量 1.定义：对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )， 2. 概率密度的性质： 例3　设二元随机变量(X,Y)的联合概率密度为 3.二维均匀分布 二维均匀分布几何意义 4.二维正态分布 * * 二维随机变量 联合分布函数 离散型随机变量的联合分布律 离散型随机变量、 连续型随机变量的联合概率密度 S e X(e) Y(e) 一、二维随机变量 二维随机变量 二维随机变量(X,Y)在几何上可看作平面上的随机点。 二维随机变量 (1) 二维随机变量也称二维随机向量 (2) 应将二维随机变量(X,Y)=(X(e),Y(e)) e∈S 看作一个整体, X和Y之间是有联系的. (3) 事件{X≤x,Y≤y}表示事件{X≤x} 和事件{Y≤y}的积. 二维随机变量 (1) 考察某地区15岁少年的身体状况,令: X:该地区15岁少年的身高; Y:该地区15岁少年的体重; 则(X,Y)就是一个二维随机变量. (2) 考察某地区气候状况,令: X:该地区温度; Y:该地区湿度; 则(X,Y)就是一个二维随机变量. 定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意一对实 数（x,y ),均有 称二元函数F(x,y)为二元随机变量(X,Y)的分布函数. 或称之为随机变量X和Y的联合分布函数。 既有 二维随机变量 y o (x, y) (X, Y ) 　　F(x,y)表示平面上的随机点(X,Y）落在以（x,y) 一个重要的公式 y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) 二维随机变量 为右上顶点的无穷矩形中的概率。 且对于任意固定的 y 和x ,有 对于任意固定的 x , 当 y1 y2时， （3）F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 二元随机变量 　对于任意固定的 y , 当 x1 x2时， 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续. y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2) (x2 , y1) (x1 , y2) (x1 , y1) 说明：任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性 质；可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性 质。那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数． 二维随机变量 设E是一个随机试验，S是其样本空间， 二维随机变量 是定义在样本空间S上的n个随机变量.则称 为样本空间S上的n维随机变量. 二维随机变量 设(X1,X2，…,Xn)是一个n维随机变量.则对于任意一组 实数(x1,x2，…,xn),恒有 成立,则称此函数为n维随机变量(X1,X2，…,Xn)的分布 函数. 说明:根据n维随机变量(X1,X2，…,Xn)的取值情况,仍可分为离散型与非离散型---连续型随机变量. 1.定义： 二维随机变量 若二维随机变量(X,Y)的取值是有限个或可列个 无穷数对,则(X,Y)为二维离散型随机变量. 设(X,Y)为二维离散型随机变量,其所有可能 取值为(xi,yj)(i=1,2,…; j=1,2,…), 事件{X=xi,Y=yj}的概率 P{X=xi,Y=yj}=pij 则称pij=P{X=xi,Y=yj} (i=1,2,…; j=1,2,…)为二维离散型 随机变量(X,Y)的分布律. 也称X与Y的联合分布律. 二维随机变量 X与Y的联合分布律可用表格形式表示 设(X,Y)的联合分布律（联合概率函数） 则其联合分布函数 二维随机变