[2018年必威体育精装版整理]1集合与简易逻辑.docVIP

集合与简易逻辑、函数一、复习策略 　　1、集合与简易逻辑在中学数学教材中并不是新增内容，在过去的教材中散见于各章知识。而在新教材中将其整合到一起，单独列为一章，置于高中数学教材之首，足见其在数学中的基础地位，是进一步学习近现代数学的必要基础知识。其内容为集合的概念及其运算、逻辑联结词、四种命题及其相互关系、充要条件。本单元内容还初步体现了中学数学中的数形结合、分类讨论、函数与方程、化归的数学思想。由于其在数学中的基础地位，在复习中不宜深入展开，只要灵活掌握知识点的小型综合即可。 　　2、函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是： 　　(1)深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系． 　　(2)系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用． 　　(3)通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础． 　　本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数． 　　本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合． 　　函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题． 二、典例剖析 考点一：集合的概念与运算 例1、集合，集合，则等于（　） 　　　A．　　　　 　　B． 　　　C．　　　　　　　D． 解析： 　　集合中的元素是，它表示函数的值域，从而，集合中的元素是，它表示函数的定义域，从而． 　　易得=，因此，正确答案选C． 点评： 　　同学们在求解此题时，常常误认为是求两条曲线的交点，而导致解题产生差错．搞清楚集合中元素的特征，运用元素分析法，就可以有效地避免这样的解题错误． 例2、已知集合． 　　(1)若，求m的取值范围． 　　(2)若点的坐标为且．集合、所表示的两个平面区域的边界交于点、N，求QMN的面积的最大值． 解析： 　　(1)如图(a)，当射线与圆相切时，由，得m=－2或m=6(舍去)．当射线与圆相切时，由．得m=6或m=－2(舍去)．故所求m的取值范围是(－2，6)． 　　(2)显然点Q在圆的直径上，如图(b)所示，由对称性和圆幂定理可得． 　　设，则，于是(当且仅当时取等号，故ΔQMN的面积的最大值为4). 点评： 　　本题是一个综合性题目．考查到了数形结合，转化与化归的思想方法；在这里，集合是一种工具，解题中善于把集合语言向函数语言转化，进而得出解题的思路与方向． 考点二：简易逻辑与四种命题 例3、已知条件和条件，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为构造命题：“若则”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题． 解析： 　　已知条件：，或， 　　已知条件：，或； 　　令，则即，或，此时必有成立，反之不然． 　　故可以选取的一个实数是， 　　设，则对应的命题“若则”是一个真命题， 　　而其逆命题“若则”是一个假命题． 注意：所找到的实数只需满足，且即可(请同学们思考这是为什么？) 点评： 　　由于本题答案不唯一，使得求解的方法没有固定模式，考生既能在一般性的指导中找出一个满足条件的a，也能先猜后证． 例4、已知函数． 　　(1)若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求出和的解析式； 　　(2)若，求的值； 　　(3)命题：函数在区间上是增函数． 　　命题：函数是减函数；如果命题有且仅有一个是真命题，求a的取值范围． 解： 　　(1) 　　． 　　(2)， 　　故． 　　(3)， 　　若真，则或． 　　即或(且)． 　　若真，则(且)． 　　而命题有且仅有一个是真命题，则真假时，；假真时． 　　故所求a的取值范围是． 考点三：函数的性质 例