[2018年必威体育精装版整理]1实数指数幂及其运算.docVIP

张喜林制 3.1.1 实数指数幂及其运算 教材知识检索 考点知识清单 1．整数指数幂 (1)正整数指数幂：一个数a的n次幂等于，即(2)正整数指数幂的运算法则： ； ； (3)整数指数幂：规定： 2．根式 (l)n次方根：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中． (2)方根的性质：①零的任何次方根都等于0，即： ③当n为奇数时，；当n为偶数时，3．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是：为既约分数． 正数的负分数指数幂的意义是：为既约分数(2)运算性质：其中 1．关于分数指数幂的概念 (2)关于分数指数幂需要注意：①在条件 个a相乘，它是根式的一种新的写法． 2．关于指数运算问题 (1)在进行根式和分数指数幂的某种综合运算时，要合理运用它们的性质和法则，数式的运算、化简、变形与求值在数学问题中占有重要的地位． (2)-般地，根式运算可以转化为分数指数幂的运算，运算的结果既可用根式表示又可用分数指数幂表示，但必须统．(3)分数指数幂的运算常采用的思路有： ①对于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母，有时需要对字母进行讨论， ②除式的运算，用分母的“-1”次幂化为乘法运算． (4)根式的运算应该注意的几点：①注意根式的符号： a．n为奇数时，a的符号一致； b．n为偶数时， ②对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律． 3．正整数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质的联系 (1)正整数指数幂与有理数指数幂的运算性质 (2)为了保证正整数指数幂的性质可以从定义直接推出，限定了m、n都是正整数，且性质②中限定mn，为了取消mn的限制，定义了零指数幂和负整数指数幂，在引进负整数指数幂后性质②可以归人性质①，性质⑤可以归人性质④，这样上述5条可归纳为3条，即①③④，同时指数的范围扩大到了有理数，为了使②⑤对任意整数都成立，不得不规定a0及60. 考点1 整数指数幂的运算 [例1]化简下列各式： [解析] (1)由题目可获取以下主要信息：两个式子都是幂的乘方以及乘除混合运算解答本题可先算乘方，后算乘除，其中0.01可写成 (2)化简整数指数幂时，应先运用法则以及负整数指数幂的定义，将它们化为单个的指数幂的乘积形式，再运用法则即达到化简的目的． [答案] (1)原式= (2)原式= 母题迁移 1．化简下列各式， 2 分数指数幂的运算 [例2]计算： [解析]原式= [点拨] 一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行计算，便于用运算性质进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．母题迁移 2．化简下列各式： 3 含指数幂的条件求值 [例3] 根据下列条件求值： (1)已知 (2)已知 [解析] (1)由两边平方得 两边再平方，得 又 原式= (2)由已知得 原式= [点拨]本题的解答过程中，灵活处理了化简过程，将已知条件待所求值的代数式比较后选择将已知条件进行处理[如(1)]或将代数式作变形处理[如(2)]． 母题迁移 3．已知的值． 考点4指数幂运算的综合问题 [例4] 化简下面的各式： [解析]根据根式与分数指数幂的互化，消去根号以及将负指数幂化为正指数幂等，再利用分数指数幂的运算性质计算、化简．(1)方法一：消去负指数后解： 方法二：利用运算性质解： 方法三：利用倒数的性质解： [点拨]根式的运算一般都转换成分数指数幂计算，当式子中含有根式与分数指数幂时应统一为分数指数幂进行计算，当根式中是具体数字时，要考虑运用配方法计算． 母题迁移4．已知：对于正整数a、b、c，满足条件x、y、z、w，若 优化分层测训 学业水平溅试 1．在( )． 中x的取值范围是( )． 3．已知x=( )． 4．将下列根式化为指数形式： ； . 5．化简： ; . 6．化简： （测试时间：45分钟测试满分：100分） 5分×8 =40分） 1．对任意实数，下列等式正确的是( )． 2．已知的值为( )． 3．计算( )． 4．下列结论中，正确命题的个数为( )． a0时，的定义域为④若 则