[2018年必威体育精装版整理]15随机变量的数字特征.pptVIP

所以 由题意 所以 且已知 例4.1.13 为普查某种疾病, n 个人需验血, 可采用两种 方法验血： (1) 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2) 将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结果为阴性, 则此 k 个人的血只需化验一次；若为阳性, 则对 k 个人的血逐个化验，找出有病者, 这时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设某地区化验呈阳性的概率为 p，且每个人是否为阳性是相互独立的.试说明选择哪一种方法可以减少化验次数 验血方案的选择 第四章 随机变量的数字特征 引例: 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函数. 评定某企业的经营能力时，只要知道该企业 人均赢利水平； 研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的 平均粒数及每粒的平均重量； 检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长 度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度， 平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好; 考察一射手的水平，既要看他的平均环数 是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数 据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些 数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义. 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 随机变量的平均取值 —— 数学期望 随机变量取值平均偏离平均值的 情况 —— 方差 描述两个随机变量之间的某种关 系的数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 4.1 数学期望 4.1.1 数学期望的性质 4.1.2 随机变量函数的数学期望 4.1.3 数学期望的简单应用 设离散型随机变量X 的分布律为 若无穷级数 绝对收敛，则称其和为随机变量X 的数学期望 定义4.1.1 记为 设连续型随机变量X 的概率密度为 若积分 绝对收敛,则称此积分的值为随机变量X 的数学期望 数学期望简称期望，又称均值 数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是 一种加权平均 记为 注: 4.1.1 数学期望的性质 证明：仅就 证性质（4） 性质 4 的逆命题不成立，即 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立 反例 1 X Y pij -1 0 1 -1 0 1 0 p? j pi? 注 X Y P -1 0 1 但 证明:设 X 为连续型，密度函数为f (x), 分布函数为 F (x), 则 故 若存在常数 a 使 P(X ? a) = 1, 则 E (X ) ? a ； 若存在常数 b 使 P(X ? b) = 1, 则 E (X ) ? b. 解: 例4.1.1 例4.1.2 解: 解: 例4.1.3 例4.1.4 解: 例4.1.5 解: 常见随机变量的数学期望 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) 注意：不是所有的随机变量都有数学期望 例如：Cauchy分布的密度函数为 但 发散 它的数学期望不存在 引入随机变量 则有 例4.1.6 解: 故 （次） 例4.1.7 解: 例4.1.8 设X 服从参数为p(0p1)的Bernoulli分布, 　　下面这个例子说明性质(4)在没有独立假设的条件下一般不成立 4.1.2 随机变量函数的数学期望 定理 例4.1.9 解: X 1 3