[2018年必威体育精装版整理]1297858942509375004-静态场的解.pptVIP

例 4-9 将半径为a的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场E0中，柱轴与E0垂直，求任意点的电位。 解：令圆柱的轴线与z轴重合，E0的方向与x方向一致。 ① r→∞时，圆柱对场无影响，所以：即φ2 = -E0 rcosφ。  ② r=a时，导体柱内、外电位连续，即φ2 = φ1 =0。 ③电位关于x轴对称， φ(r,φ)= φ(r,-φ) ,即在通解中只取余弦项 边界条件： 电位分布函数与z 无关。解的形式可取前述一般形式 ③电位关于x轴对称， φ(r,φ)= φ(r,-φ) ,即在通解中只取余弦项 由边界条件③得：Bn＝0，Dn＝0 由边界条件①知, r→∞时,φ2 = -E0 rcosφ ,即: 所以: n=1时， A1= -E0 n1时， An= 0 ① r→∞时，圆柱对场无影响，所以：即φ2 = -E0 rcosφ。 由边界条件②知,r=a时，φ2 = φ1 =0，即： ② r=a时，导体柱内、外电位连续，即φ2 = φ1 =0。 所以: n=1时， C1= E0a2 n1时， Cn= 0 作业：4-7、4-11 例 4-4 线密度为ρl 的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平面前，二者相距d, 如图所示，求电位及等位面方程。 ρl -ρl d d x r- r+ P 解： 任一点P(x, y)的总电位： 用直角坐标表示为 两细导线的场图 等位线方程为 这个方程表示一簇圆，圆心在(x0, y0)，半径是R0。其中： 每一个给定的m(m0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为: R0 d d x0 x0 R0 -ρl ρl M1 M=1 0M1 例 4-5 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离是 2b，如图所示，求导体单位长的电容。 2b 解：设两个导体圆柱单位长带电分别为ρl和-ρl，利用柱面镜像法，将导体柱面上的电荷用线电荷ρl和-ρl代替，线电荷相距原点均为d，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。 R0 d d x0 x0 R0 -ρl ρl 解之得: 当ba时， R0 d d x0 x0 R0 -ρl ρl 4.3.4 平面介质镜像法 例 4-6 设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于x0 及x0 的半空间，在介质 2 中点(d, 0, 0)处有一点电荷q, 求空间各点的电位: 解： 将包含两种介质的边界问题转化为两个单一介质的边界问题 镜像电荷的带电量由原边界条件的来确定 2 1 d x x d 设全空间中有一种介质ε2，P1的点位由q和q‘共同产生 设全空间中有一种介质ε1，P2的点位由q‘’产生 在x=0面上应用电位的边界条件： 2 1 d x 区域V的边界条件 导体1的边界条件 导体2的边界条件 导体3的边界条件 自然边界条件，取无穷远处为零点位点 4.4 分 离 变 量 法 分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到微分方程的通解， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。 解题的一般步骤： 分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程； 解常微分方程，并叠加得到通解； 利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。 写出边值问题（微分方程和边界条件）； 4.4.1 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中， 拉普拉斯方程为 （1）将电位函数φ表示为三个坐标函数的乘积， 即 求解步骤如下： 其中， 分别仅是x、y、z的函数 然后左右两边同时除XYZ，得 要使上式对任意一组（x,y,z）成立，必然有： 其中α、β、γ 为待定系数，称为分离常数，且满足 ②当α2 0 时，即α=jkx(设kx为正实数)，则： 解的形式与边界条件有关 ①当α2 = 0时： 或： 或： ③当α20 时，令α=kx，则 或: 式中c1、c2、d1、d2等积分常数由边界条件确定。 确定分离常数的一般原则 若在某个方向上（如x方向）的边界条件是周期的，则该坐标的分离常数是虚数，其解要选三角函数 ★ 若在某个方向上的边界条件是非周期的，则该坐标的分离常数是实数，其解要选双曲函数或者指数函数 ——?对于上述非周期的边界条件，在有限区域选双曲函数，而在无限区域选指数函数； ★ 若在函数与某一坐标无关，则沿该方向的分离常数为“0”，其解为常数。 ★ 例 4-7 横截