[2018年必威体育精装版整理]04第四章李雅普诺夫稳定性理论.pptVIP

第四章 动态系统的稳定性分析 研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线性系统) 1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。 4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。 例： V(x)的定号性完全由P来确定。 P的正负判定：通过P的主子式的正负来判断。 P的顺序主子式： 希尔维斯特判据 例： ∵P的顺序主子式都大于0 ∴P是正定的 ∴V(x)正定 例： 不定 例： 负定 Lyapunov直接法通过构造能量函数来判断，建立在用能量分析稳定性的基础上。 例： ①若无摩擦 能量不变 李氏稳定 ②有摩擦 能量减小 渐近稳定 能量变化始终0 不稳定 例： 如图所示机械系统：弹簧K，阻尼器B，质量M 用V(x)表示系统的能量： ∴ V(x)随时间减小，从而运动的轨迹也将随时间增大而趋于坐标原点。 ∴ 坐标原点是渐近稳定。 定理4-2： 对李氏函数的讨论： (1) V(x)是一正定标量函数，且对x具有一阶连续偏导。 (2) 对于一给定系统，若V(x)可找到，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。 (3) V(x)的最简单形式是二次型函数 ，其中P为实对称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但V(x)并不一定都是简单的二次型。 (4) V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。 (5) 由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如高阶非线性系统或时变系统。 (6) 只有V(x)可判稳定性时，才称其为李氏函数。 例： 解： 显然是正定的,且有连续一阶偏导 判稳定性。 例： 判稳定性。 始终位于圆上 状态与平衡点的距离 例： 判稳定性。 (1) (2) (*) 解： (3) 代入方程(*)中 由上例可以看出：关键是寻找合适的李氏函数。 例： 判稳定性。 解： 说明：系统的稳定域在单位圆内。 例： 判稳定性。 解： 二、克拉索夫斯基方法(构造李氏函数的方法) 定理 4-3： 进一步： 证明： * * 1 稳定性基本概念 2 李雅普诺夫意义下的稳定性 3 李雅普诺夫第一法 4 李雅普诺夫第二法 5 线性定常系统渐近稳定性判别法 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定 性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法 重点内容： 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别 教学要求： 主要内容： 李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先线性化。 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造Lyapunov标量函数。 一、稳定性基本概念 1. 自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0) 2. 初态： =f(x,t)的解为 初态 3. 平衡状态： 系统的平衡状态 a. 线性系统 第一节 李雅普诺夫稳定性定义 A非奇异： 解唯一,平衡点只有一个 令 例： b. 非线性系统 A奇异： 系统不一定都存在平衡点； 但系统也可能有多个平衡点； 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）； 稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对多平衡点问题需针对各状态讨论。 说明： 二、李雅普诺夫意义下的稳定性 定义4-2： 几何意义： 实际上，工程中的李氏稳定是临界不稳定 无摩擦，等幅振荡 定义4-3(渐近稳定)： 球受外力离开平衡点,存在