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离 散 数 学 (II) 古典代数与近世代数 古典代数的研究对象：方程 以方程根的计算与分布为其研究中心 近世代数的研究对象：代数系统 古典代数的发展过程导致了群的概念的提出，发展成了近世代数 古典代数的发展过程 一元一次方程 公元前1700年 一元二次方程 公元前几世纪 巴比伦人 一元三次方程 我国：在公元七世纪 一般的近似解法 唐朝数学家王孝通《缉古算经》 西方：16世纪 意大利数学家 卡丹公式 古典代数的发展过程 一元四次方程 Ferrari L 化为求一个三次方程和两个二次方程的根 一元五次方程 失败：Euler L(1707 --1783) 、Van de monde、Lagrange J L、Ruffini P、Gauss K F 19世纪 法国青年数学家 Galois : 五次以上方程无根式解 Galois(1811—1832)--近世代数的创始人 离散数学II 近世代数的特点 -- 抽象 代数系统： 群 环 域 格 布尔代数 第六章 群 与 环 §6.1 代 数 系 统 代数运算的定义及其性质 代数系统的定义 代数运算的定义 二元代数运算 设S是一个非空集合，称S×S到S的一个映射f为S的一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素a，b，通过f，唯一确定S中一个元素c：f（a，b）= c，常记为a * b = c。 Note： 代数运算是闭运算。 该运算具有很强的抽象性，不限于+，-， *，/，意义很广泛。 类似地，可定义S的n元代数运算： Sn到S的映射。 代数运算的例子 加法和乘法是自然数集N上的二元代数运 算；减法和除法不是N上的二元代数运算 加法、减法、乘法都是整数集Z上的二元 代数运算；除法不是Z上的二元代数运算 乘法、除法是非零实数集R* 上的二元代数 运算；加法和减法不是R*上的二元代数运算 代数运算的例子 矩阵加法和乘法是n阶实矩阵集合上的二元代数运算。 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂集，则∩、∪是ρ（S）上的二元代数运算。 ∧、∨、→、 ?都是真值集合{0，1}上的二元代数运算。 代数运算的性质—交换律 设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b ∈ S ，a * b = b * a 都成立，则称运算 * 满足交换律。 例.设Q为有理数集合，对任意a,b∈Q ,定义Q上的运算☉如下 ：a ☉b=a+b-a ? b，则☉是Q上的二元代数运算，且满足交换律： a☉b=a+b-a ? b= b + a - b ? a= b☉a 代数运算的性质—结合律 设 * 是集合S上的二元代数运算，如果对于任意a，b，c ∈ S ，(a * b)*c =a*(b * c)都成立，则称运算 * 满足结合律。 例.设A是一个非空集合，对任意a,b ∈A，定义A上的运算☉如下：a☉b=b， 则☉是A上的二元代数运算，且满足结合律:(a☉b)☉c=b☉c = c a☉(b☉c)=a☉c = c 代数运算的性质—等幂律 设 * 是集合S上的二元代数运算，a是S中的元素，如果a * a = a,则称a是关于运算 * 的幂等元。如果S中每个元素都是关于 * 的幂等元，则称运算*满足等幂律。 结论：若a是关于运算 * 的幂等元，则对于任意正整数n，an=a . 代数运算的性质—分配律 设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a，b，c ∈ S, a * （b + c） = （a * b） + （a * c）， （b + c） * a = （b * a） + （c * a） 都成立，则称运算 * 对 + 满足分配律。 （Note: *未必满足交换律，所以一个等式成立，另一个未必成立） 代数运算的性质—吸收律 设 * 和 + 是集合S上的两个二元代数运算，如果对于任意a,b∈ S, a*(a+b)=a ，a+(a*b)=a， 都成立，则称运算 * 和 + 满足吸收律。 例. 定义自然数集合N上的运算* 和 + 如下：对于任意a，b∈N ，有 a * b=max{a,b}, a + b=min{a,b}， 则* 和 +是N上的二元代数运算，且满足吸收律 a*（a + b）=max{a,min{a,b}}=a, a + （a * b） = min{a,max{a,b}}=a. 代数运算的性质—消去律 设 * 是集合S上的二元代数运算，如果S中存在元素? ，使得对于S中任意元素a，都有a * ? = ? ， ? * a