高等代数8-4.pptVIP

* * 定理： 数字矩阵 相似 与　　　等价. 设P为数域 若有 ， 则A与B相似. 证：由 得 即 引理1： ① 使 ∴ A与B相似. 对任意　 及任意 -矩阵 使 ② ③ 一定存在 -矩阵 及 引理2： 证： 这里 且 设 i) 若 则令 ii）若 设 这里 为待定矩阵. 于是 要使①式成立，只需取 即 即可. 同理可证②. 设 ，则A与B相似 特征矩阵 与 等价. 定理： 证： 若A与B相似，则存在可逆矩阵T， 于是 由定理6之推论，得 与 等价. 使 若 与 等价， 则存在可逆 －矩阵 　　　　 ，使 ④ 及 ，使 存在 －矩阵 由引理2，对于A， ⑤ ⑥ 由④，有 即， 比较两端，得 ⑦ ⑧ 下证T可逆. 由⑦有， 即 比较两端，得 故T可逆. 由引理1，A与B相似. 于是 推论:设 则 相似 特征矩阵 与 有相同的不变因子. 证: 相似 与 等价. 与 有相同的不变因子.