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Section4 基本不等式 一、知识点归纳： 1、称为的算术平均数，称为的几何平均数．定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 这一定理的几何解释是：圆的半径不小于半弦(如图所示)． 以长的线段为直径作圆，在直径上取点，使.过点作垂直于直径的弦，连结、，易证∽，那么，即. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于，即. 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．③只有当各项相等时，才能利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值． 例如求 ()的最小值时，可以将函数式变形为. ∵，∴，＞0且为定值，∴，当且仅当时取“＝”．但若将函数定义域变为{ | }，若认为就错了，因为时，，所以4不是的最小值． 3均值不等式的变形 (1) ()常用来证明积()与和()有关联的不等式． (2) ()常用来证明平方和与积有关联的不等式． (3) ()常用来证明和与平方和有关联的不等式． (4)应用两个重要的不等式可以得到一些常用的不等式，主要有： 如果，则 (当且仅当时取等号)．其中称为的平方平均数，称为的调和平均数． 若，则或，即. (当且仅当时取等号)； 当且仅当时取等号)． 注意　①为了使用算术平均数与几何平均数的定理，一般要把所求最值的函数或代数式化为的形式，常用的方法是变量分离与配凑法． ②在[，＋∞)上单调递增，在(0，]上单调递减．利用这一性质可以求满足“一正二定”但是不满足“三相等”的函数的最值．这一思维过程可以简记为“等号取不到，单调来协调”.例设，，则以下不等式中不恒成立的是(　　) A．……B．C．D. 练习1、若，则下列不等式 ①；②；③④ 中一定成立的是(　　) A．①②③　B．①②④ C．①② D．②④，，求证： 练习4、⑴若对任意恒成立，则的取值范围是 . ⑵已知，则函数的最小值为 . 3.若则的最大值为 -1 . 题型三：利用均值不等式求最值 例3、 ⑴若直线过圆的圆心，则的最大值是（ ） A. B. C.1 D.2 ⑵函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . ⑶已知，则的最小值是 . 练习2、⑴设，，若，则的最大值为（ ） A.2 B. C.1 D. ⑵已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 题型四：均值不等式与其他知识点的交汇 练习3、设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为（ ） A. B. C. D.4 此题应用到“1”！ 例5、⑴函数的值域是(　　) A．[－，]　　　　　　B．[－，]C．[－，] D．[－，]已知成等差数列，成等比数列，则的最小值是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．4 1