[经济学]第六章 平稳时间序列预测.pptVIP

第六章 平稳时间序列预测 第一节 平稳时间序列预测概念 第二节 最小均方误预测 第三节 条件期望预测 第四节 适时修正预测 第一节 平稳时间序列预测的概念 第二节 最小均方误预测(正交投影预测) 一、最小均方误差预测概念 二、平稳ARMA模型最小均方误预测的推导 第三节 条件期望预测 一、条件期望预测的一般公式 二、用条件期望进行预测 1.AR(1)模型的条件期望预测(参见P130) 设xt适合如下AR(1)模型: 2、AR(2)模型的条件期望预测 4、MA(1)模型的条件期望预测 三、ARMA(p,q)模型条件期望预测的一般结果 设： 预测举例： 例1：对某一含有250个数据的序列建立模型如下： 四、ARMA(p,q)条件期望预测的置信区间 前已证明，条件期望预测与最小均方误预测是一致的，因此，预测误差和误差方差也是相同的。 因此，条件期望的预测误差为： 例3.14 已知某超市月销售额近似服从AR(2)模型（单位：万元/每月） 今年第一季度该超市月销售额分别为： 101，96，97.2万元 请确定该超市第二季度每月销售额的95％的置信区间 例3.14解：预测值计算 四月份 五月份 六月份 例3.14解：预测方差的计算 GREEN函数 方差 例3.14解：置信区间 公式 估计结果 例3.15 已知某地区每年常驻人口数量近似服从MA(3)模型（单位：万）： 最近3年的常驻人口数量及一步预测数量如下： 预测未来5年该地区常住人口的95％置信区间 例3.15解：随机扰动项的计算 例3.15解：估计值的计算 例3.15解：预测方差的计算 例3.15解：置信区间的计算 例3.16 已知模型为： 且 预测未来3期序列值的95％的置信区间。 例3.16解：估计值的计算 例3.16解：预测方差的计算 Green函数 方差 例3.16解：置信区间的计算 第四节 适时修正预测 一、问题的提出 二、适时修正预测公式 1、适时修正预测公式的推导 （1）适时修正预测公式 解： 同理： 当 时，预测值满由模型自回归部分决定的差分方程： 解此差分方程即可求出预测函数。 预测误差的方差为： 其中： =1时的预测误差为： 于是有： 可见ARMA模型中白噪声项εt其实就是以xt-1为原点， 向前一步预测误差。 预测误差和白噪声项的关系： 再由预测误差方差的公式得： 可见：向前一步预测误差的方差其实就是白噪声项的方差。 预测误差的置信区间： 对于正态过程，预测误差的分布为： 所以：对xt+l预测的95%的置信区间为： 因此： 根据预测置信区间的公式得： 可见：随着预测步长的加大，预测误差的置信区间也越大， 预测结果越不准确。 例2：求例1中各步预测值的95%的置信区间： 已知： 于是以t=250为原点，向前一步、二步、三步预测 的95%的置信区间分别为： 例3. 对对一个包含250个数据的序列xt建立下ARMA(2,1)模型： 已知： （1）求预测值 解： ε250未知，故需先将其求出。 由已知数据得： 同理： 因此： （2）求预测值的95%的置信区间： 由ARMA(2,1)模型的格林函数得： 所以预测值的95%的置信区间为： 由于 （81.84，113.35） 六月份 （83.72，111.15） 五月份 （85.36，108.88） 四月份 95％置信区间 预测时期 109 105 2004 100 108 2003 110 104 2002 预测人数 统计人数 年份 （86，114） 2008 （87，115） 2007 （86，114） 2009 （83，109） 2006 （99，119） 2005 95％置信区间 预测年份 （－0.049，0.251） 103 （0.087，0.287） 102 （0.136，0.332） 101 95％置信区间 时期 * * （若预测函数是线性的，则称线性最小均方误预测） 由于预测只能建立在到t时刻为止的可用信息的基础上， 因此，根据最小均方误预测的第二个准则，以及平稳可 逆序列可以表示成传递函数形式的论断，可以将预测值 表示成能够估计的项εt，εt-1，……，的加权和的 形式： 由上得以t为原点，向前l步的预测误差为： 由于εt是白噪声，故有： 因此可得xt+l的最小均方误预测为： 预测误差为： 误差方差为： 由上推导可知， （1）最小均方误预测误差的方差和预测步长l有关，而和 预测的时间原点无关。 （2）预测步长l越大，预测误差的方差也越大，即预测的 准确性越差。 上述最小均方误预测公式中包含有无穷项求和，而在实际 中我们只可能有有限的数据，因此，只能用充分多项