2010-2011年黄冈高中自主招生数学试题及答案.docVIP

2010年黄冈高中特招考试数学试题 （满分：120分 时间120：分钟） 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 关于的不等式组只有5个整数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 如图，用红、黄、蓝三色将图中区域A、B、C、D染色，要求有公共边界的区域不能染成相同的颜色、则区域A恰好染蓝色的概率是（ ） A． B． C． D． 4、如图，P是函数图像上的一点，直线分别交轴、轴于点A、B，作PM⊥轴于点M，交AB于点E，作PN⊥轴于点N，交AB于点F，则AF·BE的值为（ ） A．2 B．1 C． D． 已知满足，，，则 的值为（ ） A． B． C． D． 填空题（每小题5分，共25分） 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°,BC＝CD,E是AD延长线上一点。若DE＝AB＝ 3,CE＝,则AD的长是 。 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 。 已知是方程的一个正根，为其另一根，则代数式的值 为 。 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝4,BC＝3,若点I和点O分别为△ABC的内心和外心，则线段 IO的长为 。 使，（，均为实数）成立的实数的最大值 。 解答题（共70分） （12分）在黄冈中学“校俱杯”乒乓球比赛中，有8名选手被分到同一小组进行单循环赛（每两名 选手比赛一场），分别用，表示第（＝1、2、3、4、5、6、7、8）名队员的胜与负的场 数。 求证：…………。 （14分）如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝1,PB＝2,PC＝3. （1）求∠APB的度数； （2）求正方形ABCD的面积。 已知抛物线（＞0，＞0）的顶点为A，抛物线的顶点B在 轴上，且两抛物线关于点P（1，3）成中心对称。 当＝1时，求的值和抛物线的解析式； （2）设与轴的正半轴交于点C，当△ABC为等腰三角形时，求的值。 （14分）如图，锐角△ABC的外接圆的切线PB，PC交于点P，M是BC的中点。 求证：∠BAN＝∠CAP。 （16分）已知抛物线（≠0）上有两点，满足 （1）求证：抛物线（≠0）必与轴有两个不同的交点。 （2）记抛物线（≠0）与轴的两个交点为（，0）、（，0）。若， 均为 正整数。 求证：，中必存在一个（＝1或2），使得。 2010年黄冈高中特招考试数学试题参考答案 1、C 2、C 3、D 4、B 5、A 6、5 7、m≥0或m≤－1 8、0 9、 10、 11．证明：因为每名选手比赛的场次相等，都为7场，即 …＝. 又因为在整个比赛中胜与负的总场次相等，即 …＋…＋ 所以 ＝ ＝ ＝7［］ ＝0 ∴ 12．解：(1)将△ABP绕点P顺时针旋转90°，因为ABCD为正方形，故A与C重合．设 点P旋转至点Q，连结PQ． ∵BQ=BP=2，∠PBQ=90°，∴PQ=，∠BQP=45°． 有CQ=AP=1,PC=3， 且， ∴，∴∠PQC=90°．∴∠BQC=135° ∴∠APB=∠BOC=135°． (2)过B作BH⊥AP交AP的延长线于点H． 则BH=PH=，AH＝， 由勾股定理得＝. (也可用余弦定理计算) ∴. 13．解： (1)当a＝1时，＝， ∴顶点A的坐标为(m，2m＋1)．依题意可设B(0，t)， ∵A、B关于点P对称，故∴m＝2，t＝1． ∴B点坐标为(0，1)． ∵l1与l2关于点P成中心对称， ∴两抛物线的开口大小相同，方向相反，得l2解析式为． (2)∵AB＝ 所以当△ABC为等腰三角形时，只有以下两种情况： ①若BC=AB=，则OC＝＝ 故C点的坐标为（，0） ∵C（，0）在抛物线上，∴a＝. ②若AC=BC，设C点的坐标为(x，0)，作AD⊥x轴于点D， 在Rt△OBC中，，在Rt△ADC中，, 由，解得x＝7． ∵C(7，0)在抛物线上，∴a＝. 综上可知，使△ABC为等