[经济学]《数学分析》课件复旦.pdf

第二章 数列极限 §1 实数系的连续性 实数系 实数集合R 的重要的基本性质——连续性。 第二章 数列极限 §1 实数系的连续性 实数系 实数集合R 的重要的基本性质——连续性。 数系的扩充历史 自然数集合 ：关于加法与乘法运算是封闭的，但是 关于 N N 减法运算并不封闭。 整数集合 ：关于加法、减法和乘法都封闭了，但是 关于 Z Z 除法是不封闭的。整数集合Z 具有“离散性”。 ⎧ q + ⎫ 有理数集合Q 。关于加法、减法、乘 ∈ ∈ | , x ⎨x ,p N q Z ⎬ ⎩ p ⎭ 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q 具有“稠密性”。 c ⎧ q + ⎫ 有理数集合Q 。关于加法、减法、乘 ∈ ∈ | , x ⎨x ,p N q Z ⎬ ⎩ p ⎭ 法与除法四则运算都是封闭的。有理数集合Q 具有“稠密性”。 虽然有理数集合是稠密的，但在坐标轴上留有“空隙” 。例如 用表示边长为1的正方形的对角线的长度，这个c就无法用有理数 来表示。换言之，有理数集合对于开方运算是不封闭的。因此有 必要将有理数集合加以扩充。 -3 -2 -1 0 1 c 2 3 图2.1.1 有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数 集合 Q 最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R ： R x{x 是有理数或无理数}。 有理数能表示成有限小数或无限循环小数，所以扩充有理数 集合 Q 最直接的方式，就是把所有的无限不循环小数(称为无理 数)吸纳进来。全体有理数和全体无理数所构成的集合称为实数集 R ： R x{x 是有理数或无理数}。 全体无理数所对应的点（称为无理点）填补了有理点在坐标 轴上的所有“空隙”，即实数铺满了整个数轴。 实数集合的这一性质称为实数系 的“连续性”。 又被称 R R 为实数连续统。 实数系R 的连续性，从几何角度理解，就是实数全体布满整 个数轴而没有“空隙”，但从分析角度阐述，则有多种相互等价 的表述方式。“确界存在定理”就是实数系R 连续性的表述之一。