[管理学]线性代数 矩阵ch16.pptVIP

* * §1.6 矩阵的初等变换 定义 矩阵的行（列）初等变换指的是一个矩阵施 行的下列三种变换： 2.用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每 一个元素； 1.交换矩阵的两行（列）； 一. 矩阵的初等变换 3.用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每 一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的行初等变换和列初等变换统称为初等变换。 表示交换矩阵第 行和第 行对应元素. 表示矩阵第 行. 表示矩阵第 列. 表示交换矩阵第 列和第 列对应元素. 表示矩阵中第 行所有元素同乘以数 后加到第 行的对应元素上. 表示矩阵中第 列所有元素同乘以数 后加到第 列的对应元素上. 例题 定义 对单位矩阵作一次初等变换所得的矩阵称为 初等矩阵。 1. 交换单位矩阵 的第 行（或列）得到的初等 矩阵记为 ，即 三种初等变换对应着三种初等矩阵： 二. 初等矩阵 第 行 第 行 的第 行（或列）得到 2. 用数 乘单位矩阵 的初等矩阵记为 ，即 行 第 把单位矩阵 的第 列的 倍加到第 列上）得到 的初等矩阵记为 ，即 3. 把单位矩阵 的第 行的 倍加到第 行上（或 从而初等矩阵的逆矩阵还是同型的初等矩阵。 （2）初等矩阵都是可逆矩阵，且 定理 设 初等变换相当于在矩阵 的左边乘以一个相应的 施行一次行 矩阵，对矩阵 是一个 施行一次列初等变换相当于在 阶初等矩阵；对矩阵 阶初等矩阵。 的右边乘以一个相应的 矩阵 即有： 性质（1）初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵,且 例：矩阵 （1）将矩阵A的第3列和第1列交换： （2）将矩阵A的第3行乘2加到第1行： （3）将矩阵A的第3行乘2： 1. 矩阵的等价标准形 定义1.15 若矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的（或相抵的）。 三. 求逆矩阵的初等变换法 特点：左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0. 定理1.7 任意矩阵A都与一个形如 的矩阵等价。 这个矩阵称为矩阵A的等价标准形。 证 如果所有的 都等于零, 则 已是D的形式, 此时 , 加到第 行 现将矩阵的第一行乘 , 再将所得的矩阵的第一列乘 加到第 列 然后用 乘第一行, 于是矩阵 化为 如果至少有一个不等于零, 不妨设 如果 则 已化为D的形式, 那么按上面的方法继续下去, 直到化为D的形式. 如果 例1：化下列矩阵为等价标准形 （1） （2） 解： （1） （2） 推论1 对于任意 矩阵A，存在m阶初等矩阵 和n阶初等矩阵 使得 推论2 对于任意 矩阵A，存在m阶可逆矩阵 和n阶可逆矩阵 使得 注：此推论告诉我们，当A可逆时，则A经过一系列的初等变换后总可以化为单位矩阵。 推论3 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A 的等价标准形为En. 推论4 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可 以表示为有限个初等矩阵的乘积.