[理学]第三章 导数与微分.pptVIP

解： 证明： 课堂练习 一、求下列函数的导数 三、求下列函数的偏导数 * p123 * 这时，y是中间变量 例2、求下列函数的n阶导数 注意： 求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的规律性,写出n阶导数——逐阶求导，寻求规律，写出通式 公式 二元函数 偏导数 二、偏导数 解 偏导数运算方法 由定义可知，求函数的偏导数不需要新的方法，只需： 解： 第三章 导数与微分 第五节 微分 前 言 前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在实际问题中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。 导数的概念 微分的概念 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 一般地， 一、微分的定义 注意 自变量的微分＝自变量的改变量 线性主部 二、可导与可微 导数＝微商 可微 可导 三、微分的几何意义 几何意义:(如图) M T ） P N 四、微分的计算 例2、求下列函数的微分 1、基本微分公式 2、微分的运算法则 微分形式不变性 解： 解： 解： 练习： 隐函数微分法 求隐函数的导数 五、利用微分进行近似计算 1、计算函数改变量的近似值 一平面园环，其内半径为10cm，环宽0.1cm，求环面积的精确值和近似值。 0.1 2、计算函数值的近似值 常用近似公式 小结： 微分的概念 微分的运算（公式和法则） 利用微分作近似计算 可微与可导 微分的几何意义 例1、求下列函数的导数 例2、求下列函数的导数 解： 解： 解： 两边取对数得： 两边对自变量求导： 切线方程： 即： 解： 说明： 例1、求下列导数 例2、求下列导数 解： 课堂练习：p13815、(2),(6)16、（4）,（6） 复合函数求导法则 即 复合函数的导数,等于函数对中间变量导数乘以中间变量对自变量的导数.(链式法则) 例3、求下列导数 复合函数的求导法则掌握熟练后，拆解复合函数这一步可以省略，可直接用法则求导。 看作u，复合函数求导法则 看作u 复合函数的求导要点： 分清函数的复合层次，从外到里，逐层求导，不要遗漏也不要重复。 例4、求下列导数 课堂练习：p13921、(1),(3),(9),(11),(13),(15) 例5 解 先变形函数 例6 例7 小结 一、基本导数公式和求导法则 二、复合函数的求导方法及要点 三、分段函数分界点处的导数 第三章 导数与微分 第三节 导数的基本公式和运算法则 第四节 高阶导数 一、基本导数公式 二、求导法则 练一练 求下列函数的导数 复合函数求导要点： 由外到里 逐层求导 不要重复 不要遗漏 思考 三、隐函数的导数 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 等式两边逐项对自变量求导. 引例：求下列导数 解： 可以含有y 例1 例2 解 解得 课堂练习 问题： 求下列函数的导数 虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦 解决方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。 四、对数求导法 步骤： （1）两边取对数,化简函数 （2）利用隐函数求导法求出导数 适用范围: 例3 例4 例3 返回 例4 所以 取对数 解： 练习： 导数运算 一般求导方法 四则运算求导 复合函数求导 特殊求导方法 隐函数求导 对数求导法 隐函数 幂指函数及多个因子连乘 微分法 一、高阶导数 三阶导数: 四阶导数: 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 例1 第三章 导数与微分 前言 我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系之外，有时还需要研究变量变化快慢程度。 例如，物体运动的速度、国民经济发展的速度、人口增长的速度等等。 导数概念就是这些实际问题中变量变化快慢程度的数学模型。 主要内容 导数的概念 导数的运算 基本导数公式 求导法则 微分 概念 计算 复习： （一）速度问题 §3.1 引出导数概念的实例 （二）切线问题 如图, （三）函数的变化率问题 现实问题中的变化率问题都可转化为该数学模型 一、导数的定义 点导数 记号 §3.2 导数概念 例1、 导函数 记号 例2、 解： 用定义求导数步骤 二、用定义求导数 小结： 例4 解： 左导数 右导数 三、导数的几何意义 解： 切线方程为： 法线方程为： 四、可导与连续的关系 注意 例4、讨论函数 解： 例4 小结： 导数的定义 利用定义求函数的导数（三个步骤） 导数的几何意义 曲线的切线方程 曲线的法线方