[理学]概率论第四章2012.pptVIP

甲乙两部机床生产同一种机轴，其直径尺寸分布律X,Y如下.若轴的标准尺寸为10mm,比较两部机床。 X 9.8 9.9 10 10.1 10.2 Pk 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 Y 9.4 9.6 9.8 10.2 10.4 10.6 Pk 0.1 0.3 0.1 0.1 0.3 0.1 采用平方是为了保证一切 差值X-E(X)都起正面的作用 方差的算术平方根 称为标准差 设X是一个随机变量，若E[X-E(X)]2∞，则称 Var(X)=E[X-E(X)]2 为X的方差. ■方差的定义 X为离散型， P(X=xk)=pk X为连续型， X~p(x) 已知X的概率分布，方差如何计算？ Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 E(X)=-2,E(X2-2)=5, 则Var(X)=? E(X)=-2,Var(X)=1,则E(2X2-4)=? 例1. 设X服从参数为p的0-1分布，求Var(X). 设Y~N(μ,σ2)，求Var(Y). 例2. 设X~U[a,b]，求Var(X). Y~P(λ), 求Var(Y) ■常见分布的期望和方差 指数分布 均匀分布 正态分布 泊松分布 二项分布 两点分布 方差 期望 概率分布 名称 1. 设a,b是常数，则Var(aX+b)=a2Var(X); ■方差的性质 1. 设c是常数，则Var(c)=0 Var(X+Y)=Var (X)+Var (Y) +2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 2.设X,Y为相互独立的随机变量，则 Var(X+Y)=Var (X)+Var (Y) 例3. 设X~b(n,p),求Var (X). 推论：设X,Y为相互独立的随机变量， a,b是常数， 则Var (aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y) X,Y相互独立， 则aX+bY+c服从什么分布？ 例3. 设随机变量X~N(50,1),Y~N(60,4),且X与Y相互独立，记Z=3X-2Y-10,求Z的概率密度。 ■切比雪夫不等式 设随机变量X有期望和方差 ，则对于 任给 0, 定理 定理 X几乎处处为某个常数a，即P(X=a)=1. 若随机变量X的方差存在，则Var(X)=0的充要条件是 作业： 1：某射手连续向一目标射击，直到命中为止，设他每发命中的概率是p，求射击次数的方差。 §4.3 分布的其它特征数 ■k阶矩 设X为随机变量，k为正整数。如果以下的数学期望都存在，则称 ?k = E(Xk) 为X的k阶原点矩。称 ?k = E[X?E(X)]k 为X的k阶中点矩。 例1.设X~N(μ,σ2)，求X的k阶中心矩。 ■变异系数 CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小. 为X 的变异系数. 设随机变量X的二阶矩存在，则称 ■分位数 P( X ? xp ) = F(xp) = p 则称 xp 为此分布 p 分位数，又称下侧p 分位数。 记 x’p 为上侧 p - 分位数。 P(X? x’p) = p ■中位数 称 p = 0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数，即 P( X ? x0.5 ) = 0.5 例2. 求指数分布的中位数。 ■偏度系数 为X 的偏度系数. 设随机变量X的三阶矩存在，则称 偏度系数可描述分布的形状特征（对称性） β1 = 0，分布关于均值对称； β1 0，分布为正偏（右偏），即均值在峰值的右边； β1 0，分布为负偏（左偏），即均值在峰值的左边； | β1 | 越大，对称性越差。 β1 =0 β1 0 β1 0 ■峰度系数 为X 的峰度系数. 设随机变量X的四阶矩存在，则称 峰度系数衡量分布的集中程度或分布曲线的尖峭程度的指标 ，正态分布的峰度系数为0。 第四章 随机变量的数字特征 * 第四章* 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 分布的其它特征数 §4.4 协方差和相关系数 §4.1 数学期望 例1：甲乙两人进行射击，射击的环数X、Y的分布律如下，问哪个射手水平较高？ X 8 9 10 Pk 0.1 0.7 0.2 Y 8 9 10 Pk 0.3 0.4 0.3 设X是离散型随机变量，它的分布律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,… 如果 有限,定义X的数学期望 定义 否则称X的数学期望不存在。 一、离散型随机变量的