[理学]微分方程1-2-3.pptVIP

微分方程 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题-----求方程的解 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 一、齐次方程 * 解 解 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类2: 分类3: 线性与非线性微分方程. 分类4: 单个微分方程与微分方程组. 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解 所求特解为 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 通解为 解 解 由题设条件 衰变规律 例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1.定义 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 2 求解微分方程 解 微分方程的解为 例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 得微分方程 由夹角正切公式得 分离变量 积分得 平方化简得 抛物线 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 一、线性方程 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法)