[理学]中值定理与导数的应用2终.pdfVIP

★★4.求下列函数的最大值、最小值： 4 2 （1）y x 8x 2, 1x 3 ； （2） y sin x cos x,[0,2π] ； 2 （3） y x  1x, 5 x 1； （4）y ln(x 1),[1,2] 。 知识点：导数的应用。 思路：求函数f (x) 在闭区间上最值的基本方法是先求y  0 的点或者 不存在的点，然后求这些点处 y 的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是f (x) 在该闭区间上的最大值，最小的即 是f (x) 在该闭区间上的最小值。 解：（1）在[1,3] 上令y  4x 3 16x 0 ，得x1 0 ，x2 2 ； ∵y (1) 5 ，y (0) 2 ，y (2) 14，y (3) 11， 4 2 ∴比较可得y x 8x 2, 1x 3 的最小值为y (2) 14，最大值为y (3) 11。 π 5π  （2） 在[0,2π] 上，令y cosx sinx 0 ，得x1 ，x2 ； 4 4 π 5π ∵y (0) 1，y ( ) 2 ，y ( )  2 ，y (2π) 1， 4 4 5π π ∴比较可得y sin x cos x,[0,2π] 的最小值为y ( )  2 ，最大值为y ( ) 2 。 4 4 2 1x 1 3  （3）在[5,1]上，y 0 ，得x ； 2 1x 4 3 5 ∵y (5) 5  6 ，y ( ) ，y (1) 1， 4 4 3 5 ∴比较可得y x  1x, 5 x 1的最小值为y (5) 5  6 ，最大值为y ( ) 。 4 4 2x （4）在[1,2] 上令y  2 0 ，得x 0 ； x 1 ∵y (1) ln 2 ，y (0) 0 ，y (2) ln 5 ， ∴比较可得y ln(x 2 1),[1,2] 的最小值为y (0) 0 ，最大值为y (2) ln 5 。 ★★★5.求下列数列的最大项： 10