[所有分类]第八章 非线性方程求根.pptVIP

m重根 若 2. 根的有哪些信誉好的足球投注网站 (1) 图解法（利用作图软件如 Matlab) 6. 迭代法收敛阶的判别 定理3 如果 在 附近的某个领域内有p( )阶 连续导数，且 §3 牛顿法 一、牛顿法的迭代公式 考虑非线性方程 五、求m重根的牛顿法 1、迭代格式 知当 时， 所以迭代格式（2）是收敛的。 迭代格式（3）的迭代函数为 当 时 由 时， 知当 所以迭代格式（3）也是收敛的。 结论: 通过以上算例可以看出对迭代函数 所得到的 若小于1，则收敛；且上界越小收敛速度越快。 求导， 的上界若是大于1，则迭代格式发散； 4. 加速收敛技术 L越小迭代法的收敛速度越快，因此，可以从寻找较小的L来改进迭代格式以加快收敛速度。 思路 (1). 松弛法 引入待定参数 ，将 作等价变形为 （9.3.4） 将方程右端记为 ，则得到新的迭代格式 由定理2知 为了使新的迭代格式比原来迭 代格式收敛得更快，只要满足 且 越小，所获取的L就越小， 迭代法收敛的就越快，因此我们希望 。 可取 ，若记 则（9.3.4）式可改写为 称为松弛因子，这种方法称为松弛法。为使迭代速度加快， 需要边计算边调整松弛因子。由于计算松弛因子需要用到微商， 在实际应用中不便使用，具有一定局限性。若迭代法是线性收 敛的，当计算 不方便时，可以采用埃特金加速法。 (2). 埃特金加速法 设迭代法是线性收敛，由定义知 成立，故当 时有 由此可得 的近似值 （9.3.5） 由此获得比 和 更好的近似值 ，利用（9.3.5） 序列 的方法称为 (3). Steffensen 加速法： 将Aitken加速法与不动点迭代相结合，可得 （9.3.6） 式构造 埃特金（Aitken）加速方法。 利用（9.3.6）式构造序列 的方法称为Steffensen加速方法。 即每进行两次不动点迭代，就执行一次Aitken加速。 例2 试用简单迭代法和Aitken加速求方程 在 附近的根，精确至四位有效数。 解：记 ，简单迭代法公式为 计算得 0.56719 13 0.56486 6 0.56707 12 0.57117 5 0.56714 18 0.56728 11 0.56006 4 0.56715 17 0.56691 10 0.57970 3 0.56714 16 0.56756 9 0.54524 2 0.56716 15 0.56641 8 0.60653 1 0.56712 14 0.55844 7 0.5 0 xk k xk k xk k Aitken加速算法公式 计算得 所以, 。 5．迭代过程的收敛速度 设由某方法确定的序列{xk}收敛于方程的根x*， 如果存在正实数p，使得 （C为非零常数） 定义： 则称序列{xk}收敛于x*的收敛速度是p阶的，或称该方法 具有p 阶收敛速度。当p = 1时，称该方法为线性（一次）收敛； 当p = 2时，称方法为平方（二次）收敛；当1 p 2或 C=0,p=1时，称方法为超线性收敛。 则迭代格式 在 附近是p阶局部收敛的，且有 原理：将非线性方程线性化— Taylor 展开 取 x0 ? x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开: ，? 在 x0 和 x 之间。 将 (x* ? x0)2 看成高阶小量，则有： 只要 f ?C1，且每步迭代都有 ， 而且 则 x*就是 f (x)的根。公式（9.4.1）称为牛顿迭代公式。 (9.4.1) 构造迭代公式 x* x0 x1 x2 x y f(x) 二、牛顿法的几何意义 三、牛顿法的收敛性 定理4： 设f (x)在[a, b]上存在二阶连续导数且满足下列条件： （1）f (a) ? f (b) 0； （2）f’ (x) ? 0； （3）f? (x) 在区间[a,b]上不变号； （4）取x0? [a, b]，使得f? (x)?f (x0) 0 则由（9.4.1）确定的牛顿迭代序列{xk}二阶收敛于f (x)在[a, b]上的唯一单根x*。 注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 四. 牛顿迭代法的局部收敛性与收敛速度 ， ,且 设 在包含 的一个区间二阶连续可 导，则Newton迭代法至少二阶收敛，即 值得注意的是，当 充分光滑且 是 的重根时，牛顿 法在 的附近是线性收敛的。且Newton迭代法