[工学]第四章 控制系统根轨迹分析法.pptVIP

第四章 控制系统根轨迹分析法 主要内容 闭环极点与根轨迹的概念 根轨迹的绘制规则 应用根轨迹图定性分析系统性能指标 重点掌握 根轨迹的绘制方法 Matlab Function: rlocus; rlocfind; sgrid 闭环传函： 则闭环特征方程为： 闭环特征根（即闭环传函的极点）： 规则五两条或两条以上的根轨迹分支在S平面上某点相遇后立即分开，则称该点为分离点，分离点的坐标d可由以下方程求得： 证明：闭环系统的特征方程为： 规则六根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间的夹角称为出射角；进入复数零点的切线方向与正实轴间的夹角称为入射角。它们的计算公式为： 规则七若根轨迹与虚轴相交，其交点处的?值和对应的k可由劳斯判据求得，或将s=j?代入特征方程，并令其实部和虚部分别相等求得。 4.3 根轨迹绘制举例 例4.3-1 已知控制系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。 系统的特征方程为5阶，故根轨迹有5支。 起始点：p1=0; p2=-5; p3=-6; p4=-1+j; p5=-1-j; 终止点：z1=0;(有限零点）有4个无穷远终止点 有四条根轨迹趋于无穷远处，故有四条渐近线： 夹角： 实轴上的根轨迹位于0~-3及-5~-6之间 根轨迹离开复数极点-1+j的起始角为 根轨迹的分离点 6. 根轨迹与虚轴交点可利用劳斯判据确定。 解得：k=35.6 4.3 根轨迹绘制举例 例4.3-2 已知控制系统的开环传递函数为 要求绘制系统的以T为参变量的根轨迹。 1. 系统的闭环特征方程： 4.3 根轨迹绘制举例 例4.3-3 已知控制系统的开环传递函数为 要求绘制正反馈系统的根轨迹。 幅角条件： 修正规则三 实轴上若某线段右侧的开环零极点个数之和为偶数，则此线段为根轨迹的一部分 修正规则四当有限开环极点数n大于有限开环零点数m时，有n – m条根轨迹沿n – m条渐近线趋于无穷远处，这n – m条渐近线在实轴上相交于一点，交点坐标为： 4.3 根轨迹绘制举例 例4.3-4 已知非最小相位系统的开环传递函数为 要求绘制系统的根轨迹。 化成标准形式： 2. 求等效开环传递函数： 3. 起始点：p12=-1?j; 终止点：z1=0, z2= 0, z3= -2 4. 实轴上的根轨迹位于：-? ~ -2 5. 从复数极点起始的相角为： 进入原点的终止相角为： 背景：复杂系统中可能局部回路是正反馈子系统。 特征方程变为： 或 幅值条件： 开环传函： 修正规则六根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间的夹角称为起始角，进入复数零点的切线方向与正实轴间的夹角称为终止角，计算公式： 渐近线与实轴的夹角为： 分离角为： 起始点：p12=-1? j; p34=-1?2 j; 2. 实轴上的根轨迹位于：-? ~ +? 4. 从复数极点起始的相角为： 5. 分离点： 3. 根轨迹有4条渐近线 d=-1 解得 6. 与虚轴交点： k=0, s=0 解得 ? j? 0 对于非最小相位系统，需要根据特征方程确定是按负反馈还是正反馈条件绘制根轨迹。 例如： * 4.1 根轨迹的概念 一.根轨迹法是1948年伊凡思（Evans）提出的，该法是在已知控制系统开环传函的极、零点分布的基础上，研究某一个或某些系统参数的变化对控制系统闭环传函极点分布影响的一种图解法。 二.根轨迹 是指当系统某个参数（比如开环增益k）由零到无穷大变化时，闭环特征根在[s]平面上移动的轨迹。 举例： 开环传函： K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点 4.1 根轨迹的概念 考虑某一参数变化后，闭环极点的变化规律。通过极点的轨迹了解系统动态性能的变化。 利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布。 G(s) H(s) + - 闭环传递函数分母方程 即特征方程 根轨迹方程 4.1 根轨迹的概念 3 绘制根轨迹的条件： 由 得 幅值条件 相角条件 为m个开环零点 为n个开环极点 k——根轨迹增益 4.1 根轨迹的概念 模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨迹增益k值。 0 几何意义：从各开环极点引向根轨迹上的点s的矢量 的长度的乘积除以从各开环零点引向根轨迹上的点s的矢量的长度的乘积所得的商即为该s点对应的系数k值. 4.1 根轨迹的概念 例： 开环极点为： 无开环零点 jω σ 0 -0.5 × × -p1 -p2 4.1 根轨迹的概念