[工学]第十一章 多元函数微分学 2.pptVIP

11.3 多元函数微分法 11.3.1 链式法则 从而 而 例1. 解: 链式法则的其他常见形式: (1) 设 z=f(u,v,w)偏导连续, u=u(x,y), v=v(x,y), w=w(x,y)偏导存在, 则复合函数 z=f [u(x,y), v(x,y), w(x,y)]的两个偏导数存在, 且: (2)设 w=f(u,v)的偏导连续, u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) 偏导存在, 则 复合函数 w=f [u(x,y,z), v(x,y,z)]的三个偏导数存在, 且: (3)设 z=f(u,v)的偏导连续, u=u(x), v=v(x) 的导数存在, 则 复合函数 z=f [u(x), v(x)]的导数存在, 且: (4)设 z=f(x, v)的偏导连续, v=v(x, y) 的偏导存在, 则 复合函数 z=f [x, v(x,y)]的偏导数存在, 且: 例2. 解: 例4. 解: 例5. 解: 例6. 解: 11.3.2 全微分的形式不变性 设 函数 z=f(u, v)可微, 则 全微分的运算性质: 例7. 设 思考与练习 3. 第四节 一、由一个方程确定的隐函数的微分法 例1. 解: B. 由方程 F(x, y, z)=0 确定的二元隐函数 z=z(x, y) 的求导公式. 设z=z(x, y) 由方程 F(x, y, z)=0 确定, 则 F(x, y, z(x, y))?0, 两边分别对 x和 y求偏导得: 例2. 解: 例3 证法2 (复合函数链导法) 证法3 (全微分形式不变性) 11.4.2 由方程组确定的隐函数 对 x 求全导数得： 若记: 及 类似地, 在一定条件下可以确定两个二元隐函数：u=u(x, y), v=v(x, y) 当 则有克莱姆法则得: 例1. 设 解：方程是两个, 函数应为两个, 余下三个变量作为自变量, 设 x, y, z 作为自变量, u, v 作为函数, 方程组是 x, y, z的恒等式, 对 x 求偏导数得: 同理对z求偏导得: 解得: 解法二: 先设法求出du, dv, 分别求全微分得: 例2. 设 解：方程组确定了两个隐函数： 11.4.3 隐函数存在定理 定理8 设函数 F(x, y) 满足: 定理9. 设函数 F(x, y, u, v), G(x, y, u, v) 满足: 则 解法2. 全微分法 雅可比(1804 – 1851) 证法1 (1) (1) ? 则 (公式法) F u v x y z x y z x y x y dx + dy 解: 二元线性代数方程组解的公式 函数个数=方程个数; 自变量个数=方程组所含变量个数–方程个数 内容小结 1. 隐函数存在定理 2. 隐函数 求导（偏导数）方法 方法一 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法二 全微分法 ; 方法三 公式法 思考与练习 设 求 * 定理 7 设函数 u=u(x, y), v=v(x, y)在点(x, y)处有偏导数, 二元函数 z=f(u, v)在对应点(u, v)处可微, 则复合函数 z=f[u(x, y), v(x, y)]在点(x, y)处的偏导数存在, 且 证明: 若定理中 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 则定理结论不一定成立. z u v x x y y 连线相乘, 分线相加. z u v w x y x y x y w u v x x y y z z z u v x x 称为 z对 x的全导数. z x v y x 其他情形总结 求导公式 结构图 函数关系 z u v x 全导数 u z v x y x y 求导公式 关系图 函数关系 u y x z z w x x y y z w x u v y y x ★ 变量x一身兼两职 x y w u v t x x x y y z 解 x u v x 例3. z t x y t t 若 u, v 又是 x, y的函数 u=u(x,y), v=v(x,y), 且 u(x,y), v(x,y)也可微, 无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其一阶 全微分表达形式都一样, 均有 一阶全微分形式不变性的实质: 利用全微分形式的不变性, 解 1. 设 2. 设 其中f 可微,求u的一阶偏导数. 解 已知 求 解 由 两边对 x 求导, 得 4 设 求全导数 解 5. 解 u z x x y t x z f g h 第十一章 一、由一个方程确定的隐函数