[工学]第六章 数字信号分析I——DFT与FFT.pptVIP

本章结束 二、FFT算法的应用 FFT是实施DFT的一种快速算法，FFT的应用实质上是DFT的应用。FFT可直接用来处理离散信号数据,也可用于对连续时间信号分析的逼近。 【实例1】 单边指数函数的DFT 函数 傅立叶变换 1、对连续时间变换的逼近 FT图 DFT图 令β=1，a=1 令β=1，a=1，利用DFT方法，按下列步骤得到离散变换图：①时域采样，设N=32，Ts=0.25，得到每点样值x(nTs)； ②计算 可见，DFT是FT的逼近，其实部是偶函数，在频域k=N/2点对称，在kN/2时，代表了负频率点处理的结果。而虚部为奇函数，kN/2处是负频率处理结果。 【实例2】 方波的谐波分析 将DFT用于方波的谐波分析，需要计算 以得到各次谐波系数值。对方波在时域的采样点数N=32。在k=N/2点处对称。可以看出，低次谐波比较逼近，而高次谐波有误差，这是由于频率混叠效应所致。虽然可以通过提高采样频率来减少这一现象，但不可能完全避免，因为周期方波为时域无限、频域无限信号。 2、卷积运算 （1）快速卷积运算过程 长度为N1的序列x(n)和长度为N2的序列h(n)卷积，其结果y(n)长度为N1+N2-1 ●卷积运算中，每个x(n)的样值必须与每个h(n)的样值相乘，因此，共需要N1×N2次乘法运算。 ●如果把线卷积改为求圆卷积，并借助FFT技术，可减少运算量。 ● 快速卷积运算过程 实现快速卷积算法中，由于利用了DFT分析，即时域或频域都是周期性的离散数据，当对他们作卷积运算时，将出现一种周期数据之间的叠带求和现象，给计算结果带来一种所谓的环绕误差。下面分析其产生原因和避免方法。 第一步：利用FFT算法计算两信号的DFT 第二步：在各频率点处两信号的变换相乘 第三步：运用IFFT算法，计算变换式乘积的反变换 实现这一过程共需两次FFT和一次IFFT运算（相当于三次FFT运算），此外，完成X(k)与H(k)两序列相乘，需作N次乘法。在一般的有限冲激响应（FIR）数字滤波器中，由h(n)求H(k)这一步是预先设计好的，数据已置于存贮器中，故实际只需两次FFT的运算量。如果假定N1=N2=N，则全部复数乘法运算次数为 。可见，随N值增大，计算量显著减少，故圆卷积的方案可以快速完成卷积运算。 （2）圆卷积的环绕误差 ● 环绕误差产生原因 图①为两个非周期离散序列的卷积。采用直接线卷积或补零圆卷积方法很容易求得其计算结果[图中 (g)]。 两个非周期离散序列的卷积 ① 两个周期离散序列的圆卷积 ② 原因：当采用DFT分析方法，上述两个非周期离散信号被改造为时域、频域相对应的周期离散信号，导致卷积结果与图①不同（见图2）。主要区别：当h(n-m)向右移动时，h(n-m)另一周期的一部分进入到求和区域，导致错误的计算结果，被称为“环绕误差”或“叠带效应”。 ● 避免环绕误差的方法 方法：对x(n)与h(n)分别在尾部填补N1(x(n)的样点数)与N2(h(n)的样点数）零值点，即使其周期加倍。如果x(n)与h(n)的长度相等，则都加长N点。采用补点方法后所得计算结果如图。 补点后的副作用：对x(n)与h(n)进行补点后，避免了环绕误差的同时，使的DFT(或FFT)算法所需容量加倍，在各DFT表示式中，必须用2N来代替N，在各函数的尾部补填足够的零值使有效周期为2N，这就能够对两个含有N点的函数进行正常的卷积运算。两个含有N点的非周期性函数的离散卷积给出一个具有2N-1点新函数，当在原函数上填加N个零点后，所得圆卷积的周期为2N，比原来的非周期信号的卷积多一个点，每周内多一个附加零点。 如果这两函数相当靠近，但长度不等，则首先将短函数的尾部补零使与长函数的长度相等，然后再补零到2N-1，这也即对较短信号补充的零点数总共超过了N个。 总结以上各点，快速卷积过程可按如下步骤进行： （a）用补零法修正x(n)和h(n)，以避免环绕误差的出现。 （b）用FFT算法计算两个修正后的函数的DFT，得到X(k)与H(k) （c）将X(k)与H(k)相乘，得到 （d）利用FFT算法，计算出Y(k)的IDFT，即 3、相关运算 相关函数的数字计算方法有时域直接计算与FFT快速算法。直接计算方法是依据下述定义进行的，即互相关函数（在数字信号分析中，一般用符号r） 自相关函数： 这种计算方法与卷积运算相类同（卷积多一个时间反折），也是一个乘、加序列，所需计算量很大。 ★ 更正 ★ 更正 ● 相关函数的FFT算法，依据的是维纳-辛钦关系，即自相关函数或互相关函数可以由功率谱密度或互谱密度函数来求得。 ① 这