[工学]第九章拉普拉斯变换.pptVIP

本章作业 作业一：9.1（e） 9.2 9.3 9.4 作业二：9.7 9.10 9.53 作业三：9.11 9.14 9.19（a）（c） 9.20 The Unilateral Laplace Transform 单边拉氏变换对分析LCCDE 描述的、具有非零初始条件系统具有重要的意义。 一. 定义: 例如 是因果信号，其双边拉氏变换和单边拉氏变换是完全相同的。 §9.9 单边拉普拉斯变换 双边拉氏变换与单边拉氏变换的不同，在于积分下限不同。 容易看出，对于t0，x(t)=0的任何信号，双边与单边拉氏变换相等。 一个信号的单边拉氏变换ROC（与照因果信号的双边拉氏变换同）一定位于 最右边极点的右边。 单边拉氏反变换与双边拉氏反变换相同。 单边拉氏变换： 与 不同是因为, 在 的部分对 有作用而对 没有任何作用所致。 例1. 双边拉氏变换： ，分析其单边和双边拉氏变换。 解： 例2.求单边拉普拉斯变换的原函数。已知 由于其ROC为 解： 二. 单边拉氏变换的性质: 　 单边拉氏变换具有与双边拉氏变换相同的大部分性质，重要的差别是时域微分性质（Differentiation in the Time Domain） 若 则 证明： 同理 其初始条件为 , ,求 。 三.利用单边拉氏变换求解线性微分系统方程 单边拉氏变换的一个主要应用是求解具有非零初始条件的线性常系数微分方程。 例.某LTI系统由微分方程描述 解：对方程两边进行单边拉氏变换，得 代入 可得 若 本章小结 2 拉氏变换的收敛域ROC、性质 3 零极点图（零极点分布与系统的关系）、傅里叶变换的几何求解 4 拉氏反变换、常见拉氏变换对、单边拉氏变换及应用 1 拉氏变换是傅里叶变换的推广， 例1. 一阶系统 对其进行几何求值。 随着 ， 单调下降， 时,下降到最大值1的 最大值在 时取得。 解： 随着 ， ，趋向 。 相位特性，当 时, 随着 ， ，趋向 。 例2. 零极点对称分布的一阶全通系统： 所以该系统的 在恒为常数（此时为1），所以称为全通系统。 其相位特性 易知虚轴上任意点的零点相量和极点向量长度相等, Properties of the Laplace Transform 1. 线性Linearity ） 则 至少是 §9.5 拉氏变换的性质 若 而 ＲＯＣ为整个S平面 如果 与 无交集时，表明 不存在。 2. 时移性质（Time Shifting） ROC不变 例.求 若 则 解： 和的拉氏变换。 例如. 表明： 的ROC，是将 的ROC 平移了 。 3. S域平移（Shifting in the s-Domain） 若 则 当 收敛时， 当 收敛时， 4.时域尺度变换（Time Scaling） 若 例 则 注意： 课本P494错误，请及时更正！！！ 例. 则由时域尺度变换性质： ： 5.共轭对称（Conjugation） 当 为实信号时, 如果 在 有零点，则 表明:实信号的拉氏变换其复数零极点必共轭成对出现。 若 则 也即 也是拉氏变换的零点。 同样对于实信号，拉氏变换的极点也有同样的结论。 例. ROC扩大 6.卷积性质（Convolution Property） 因为两部分的零极点相互抵消了 则 若 包括 7.时域微分（Differentiation in the Time Domain） ROC包括R,有可能扩大。 例如： 若 拉氏变换乘以s后，有可能抵消掉极点0。 则 8. S域微分（Differentiation in the s-Domain） 则 若 例. 求 9.时域积分（Integration in the Time Domain ） 包括 则 若 证明： 例： 那么 同理 时 ，且在 不包含奇异函数。 10. 初值与终值定理The Initial-and Final-Value Theorems 如果 是因果信号，且在 不包含奇异函数，则 ——初值定理 证明: 将 在 展开为Tailor级数有： 对两边进行拉氏变换： 如果 是因果信号，且在 不包含奇异函数，