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断裂力学 第三章 应力强度因子的计算 §3.1 概 述 应力强度因子（KI、KII、KIII）是线弹性断裂力学中最重要的参量 K判据：KI = KIC 应力强度因子的计算方法 §3.2 复变函数法计算K 弹性力学平面问题的复变函数解法回顾 复应力函数 应力组合的复势表示 位移组合的复势表示 §3.2 复变函数法计算K 弹性力学平面问题的复变函数解法回顾 坐标转换的复格式 §3.2 复变函数法计算K 弹性力学平面问题的复变函数解法回顾 复势的确定程度 第一类边值问题 第二类边值问题和混合边值问题 §3.2 复变函数法计算K 弹性力学平面问题的复变函数解法回顾 多连通域中复势的多值性 如果作用在每个孔边的载荷都能单独构成自平衡力系，则复势就是单值的 §3.2 复变函数法计算K 弹性力学平面问题的复变函数解法回顾 空心环域中的解析函数可展成Laurent级数 含圆孔无限域上的解析函数，应力无穷远有界 §3.2 复变函数法计算K 弹性力学平面问题的复变函数解法回顾 非圆孔无限域上的解析函数，难以直接展开成级数 保角映射 椭圆外部映射到单位圆外部 裂纹外部映射到单位圆外部 倾斜裂纹外部映射到单位圆外部 §3.2 复变函数法计算K 应力强度因子的计算公式（平面问题） I-II混合型裂纹尖端邻域应力场 可得应力组合 §3.2 复变函数法计算K 应力强度因子的计算公式（平面问题） §3.2 复变函数法计算K 应力强度因子的计算公式（平面问题） §3.2 复变函数法计算K 应力强度因子的计算公式（平面问题） 对于倾斜裂纹（倾角为?0） §3.2 复变函数法计算K 例1：含倾斜穿透裂纹无限大板，无穷远处载荷为 ，求裂纹尖端应力强度因子 §3.2 复变函数法计算K 例2：含水平穿透裂纹无限大板，裂纹表面受线性分布正压力作用，计算裂纹尖端应力强度因子 §3.3 加权残差法 弹性力学问题的微分提法 近似解 近似解不一定点点满足微分方程和边界条件 §3.3 加权残差法 方程右边出现非零残差 加权残差法要求在整个域内及边界上残差的加权平均值为零 由上式导出代数方程确定待定参数 §3.3 加权残差法 加权残差法的分类 按权函数选择方案 配点法 子域法 迦辽金法 最小二乘法 矩量法 §3.3 加权残差法 配点法 选取权函数为 残差方程变为 配点法仅要求在选择的N个离散点上近似解精确满足方程，其他点上允许存在残差 §3.3 加权残差法 子域法 选取权函数为 残差方程变为 子域法把域V分割成N个子域，在每个子域内近似解残差的算术平均值为零 §3.3 加权残差法 迦辽金法 选取权函数为 残差方程变为 迦辽金法使近似解残差与试验函数正交，残差方程有严格的物理意义（功） §3.3 加权残差法 最小二乘法 选取权函数为 残差方程 最小二乘法要求调整待定参数，使残差的均方和取最小 §3.3 加权残差法 矩量法 选取权函数为 残差方程变为 矩量法将权函数取为幂函数，若取为其他完备函数序列，则称为广义矩量法 §3.3 加权残差法 对于含裂纹体，结合应力函数法 假设Airy应力函数为级数形式 由裂纹表面边界条件简化应力函数（使得由应力函数描述的应力分量满足裂纹表面的边界条件） 其他边界条件运用加权残差法近似满足（边界配点法） §3.3 加权残差法 对于含裂纹体，结合应力函数法 应力函数和应力的边界条件 §3.3 加权残差法 对于含裂纹体，结合应力函数法 残差 §3.3 加权残差法 对于含裂纹体，结合应力函数法 最小二乘法 最小二乘边界配点法 §3.4 有限元法 求解断裂力学问题的有限元法可分三类 常规单元法 奇异单元法 杂交应力单元法 富集有限元法(Enriched Finite Element Method) 扩展有限元法(eXtended Finite Element Method) §3.4 有限元法 常规单元法 裂纹尖端应力奇异性，必须细分网格 单元边长为裂纹长度的1/100~1/1000倍 奇异单元法 裂纹尖端用奇异单元建模 奇异单元的形函数具有r的-1/2奇异性，可以较好地模拟裂纹尖端应力奇异性 不需细分网格，降低求解自由度 §3.4 有限元法 杂交应力单元 基于H-R变分原理，可建立杂交应力单元 单元内部精确满足平衡方程和协调方程（用解析解描述位移场和应力场） 单元边界的位移采用节点位移插值，插值函数与常规单元的形函数相同，可以与常规有限单元匹配 不需细分网格，降低求解自由度 §3.4 有限元法 富集有限元法(EFEM) 单元位移场中含有反映奇异性的插值函数 无需后处理，直接得到 应力强度因子 §3.4 有限元