[工学]Ch5_MatLab的符号计算与数值计算.ppt

MatLab的符号计算与数值计算 一、MatLab下的符号计算 1.求极限 在MatLab中, 求极限的命令是 基本格式 由于Matlab偏重于数值计算, 而求极限是一个符号运 算的过程, 因此在此之前要赋予命令 例 求极限 在命令窗口执行命令 输出结果为1. 例 求极限 求该极限的命令为 计算结果: 某些情况下, 我们要求函数的单侧极限. 相应的命令为: 例 求极限 命令 计算结果 若要求极限 则执行命令 计算结果 例 求极限 在MatLab中相应的结果是: 在, 但左右极限都存在, 且分别有 极限不存在 左极限 右极限 例 求极限 首先定义函数, 再求极限. 定义函数 求极限 基本格式 功能 2.求导数 例 求下列导数: ⑴ ⑵ 求: ⑶ 求: ⑴定义函数, 然后求导: 得 求: ⑵本题是由参数方程确定的导数问题. 由求导公式: 在MatLab下执行操作: 定义符号 求一阶导数 求二阶导数 ⑶本题为多元函数求导 由偏导的定义, 知 因此, 在MatLab下执行命令 分别求出对两个变量的偏导 3.求积分 在这里所指的积分均指的是不定积分, 即满足 及定积分 基本格式 功能 对表达式进行积分, 积分变量为 功能 对表达式计算定积分. 例 求积分 ⑶ 解 ⑴在MatLab下执行 命令: 积分结果为 即: ⑵ 积分结果 即: ⑶ 我们知道, 在定积分中有 公式 是奇数. 例 计算广义积分 命令 程序如下: 输出计算结果: 输出近似值 4.级数 基本格式 ⑴级数求和 例 求下列级数的和. ⑴ ⑵ 命令如下: 输出结果: ⑵函数展开成Taylor级数 基本格式 功能: 命令如下: 命令如下: Taylor级数逼近计算器 在MatLab中, 有一个用来图示Taylor级数逼近情况的 在命令窗口中输入: 是一个交互式的Taylor级数逼近计算器. 计算器. 输入函数 展开的阶数 阶Taylor级数. ⑴求解代数方程 5.符号方程求解 基本格式: 功能: 求解符号表达式的代数方程. 例 求解下列方程: ⑴ ⑵ 命令如下: ⑵符号微分方程求解 表示微分方程 导数. 例如: 基本格式 功能: 对表达式确定的微分方程求解. 的通解. 例 求解下列微分方程: ⑴ ⑵ 方程⑴为贝努里方程, 特解为: 方程⑵为二阶常系数线性微分方程. 通解为 例 求解微分方程组 例 求二重积分 6.应用举例 围成. 解 先作出区域的图形. 在MatLab下求曲线的交点. 得交点后分别做两个两次积分, 即得到问题之解 3.一煤炭部门煤的进价为每吨65元, 零售价为每吨70元, 求最优策略. 若当年卖不出去, 则第二年要削价20%, 若供应缺货, 有关部门每吨罚款10元, 已知顾客对煤炭需求量 再由已知条件: 故相应的概率密度函数为 由此得到收益的期望值 得积分结果为: 对其求导并令其为零, 得函数惟一的驻点: 相应程序如下: 即最优策略为: 二、数值解法 1.数值积分 数值积分方法很多, 经常使用的是梯形法, 辛普森法, 及Newton—Cotes方法. 上章介绍的积分法就是属于梯 形法. 数值积分的意义: 在上章中, 我们用梯形公式计算函数在区间上的定积 分,其方法是将区间做了一千等分, 在每个小区间上用梯 形面积近似替代曲边梯形面积. 对于一个较为复杂的函 数而言, 其计算量将是非常巨大的, 数值积分的思想是: 对每一次的计算结果加以判定: 本次的计算结果是否足 够精确, 若没有达到预定目标, 则进行下一次的计算. 并尽可能利用已有的结果. ⑴变步长梯形法 记: 同理: 由公式得: 所以: 由此列表如下: 该积分的精确值为 此时: 相应程序如下: 数值积分的辛普生方法 前面数值积分的梯形公式给出了已知函数在某一区间 数值积分的辛普生方法在每个小区间上构造二次曲线, 上的近似积分值, 但该方法收敛速度慢且精度不高. 用抛物线近似代替原曲线, 用抛物曲边梯形面积近似代 替原曲边梯形面积. 基本方法: 令: 则: 以 为节点构造二阶 插值多项式: 注意到: 所以: 又: 同理: 而: 即有: 由此得到复合辛普森积分公式: 公式: 称为复合辛普森积分公式. 例 用复合梯形公式及复合辛普森