椭圆综合训练教师版.docVIP

解析几何之圆锥曲线讲义（提高） 一、椭圆 定义 平面内到两个定点的距离之和等于定长()的点的轨迹 平面内到定点与到定直线的距离之比等于常数()的点的轨迹 方程 标准方程 椭圆：() 椭圆： ()； 参数方程 图形 几何性质 焦点坐标 ， ， 顶点 ，； ，； ，； ，； 范围 ≤，≤； ≤，≤； 准线 ：，： ：，： 焦半径 ， ， 对称性 关于轴均对称，关于原点中心对称； 离心率 abc关系 焦点三角形的面积：(，为短半轴长) 求椭圆方程的方法：除了根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参). 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时，可设方程为() 可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为(,). 椭圆有“四线”(两条对称轴、两条准线)，“六点”(两个焦点，四个顶点)，“两形”(中心，焦点以及短轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形).要注意它们之间的位置关系(如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等)及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为，到相应准线的距离为即焦准距). 要重视椭圆定义解题的重要作用，要注意归纳提炼，优化解题过程，简化解题过程. 当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式. 、双曲线 定义 到两个定点与的距离之差的绝对值等于定长()的点的轨迹 到定点与到定直线的距离之比等于常数()的点的轨迹 标准方程 () () 简图 几何性质 焦点坐标 ， ， 顶点 ， ， 范围 ≥， ≥， 准线 渐近线方程 　焦半径 ， 在左支上用“”， 在右支上用“” ， 在下支上用“”， 在上支上用“” 　对称性 关于轴均对称，关于原点中心对称； 　离心率 的关系 焦点三角形的面积：(，为虚半轴长) 与共渐近线的双曲线方程－()． 与有相同焦点的双曲线方程－(且) 双曲线形状与的关系：,越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔. 、抛物线 标准方程 () () () () 图形 范围 ≥， ≤， ≥， ≤， 焦点 准线 焦半径 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 p()的几何意义是抛物线的焦准距(焦点到准线的距离). 抛物线的通径：通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径.通径的长为,通径是过焦点最短的弦. 、直线与圆锥曲线的位置关系 对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”，常结合韦达定理. 解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否 有解或解的个数问题.对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.有时借助图形的几何性质更为方便. 涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法. 直线与圆锥曲线相交的弦长计算：连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦；易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长；一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于(或)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系，结合韦达定理得到弦长公式： ＝. 焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.焦点弦长： (点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的 准线的距离，是离心率) 涉及垂直关系问题，一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设、，是直线与圆锥曲线的两个交点，为坐标原点，则， 解析几何解题的基本方法：数形结合法，以形助数，用数定形.常用此法简化运算. 、曲线与方程以及轨迹的求法 曲线的方程与方程的曲线的概念；用直接法求曲线的方程的方法和步骤。 掌握“方程与曲线”的充要关系； 求轨迹方程的常用方法：定义法；利用图形的几何性质；轨迹法；参数法；代入法；待定系数法；交轨法；向量法.要注意“查漏补缺，剔除多余”. 对称分为中心对称和轴对称.中心对称问题常利用中点坐标公式解决；解决轴对称问题常根据下列两个条件：垂直.即已知点和对称点的连线与对称轴垂直；中点.即已知点和对称点的中点在对称轴上. 1．（1）弦长公式； （2）对使用方向向量，为参数的直线上的弦，其弦长； 2．三角形面积公式：； 对角线夹角为的四边形面积为； 特别地，对角线互相垂直的四边形的面积为． 3．三角形重心坐标公式：； 三角形