第四章根轨迹2009.pptVIP

求根轨迹方程例题 根轨迹示例1 根轨迹示例2 零极点微小变化例1 零极点微小变化例2 例题 例题 * 第四章 根轨迹法 4．1基本概念 一、根轨迹 根轨迹：指当系统的某个（或几个）参数从-∞变到+∞时，闭环特征根在根平面上描绘的一些曲线。 举例说明根轨迹的大意: 特征方程： 特征根： （开环极点） （过阻尼） （临界阻尼） （欠阻尼） 以上分析说明，当K从0增至∞时，s1、s2也随之移动，形成两条轨迹线，称为系统根轨迹的两条分支，它们组成整个系统的根轨迹。 二、闭环零、极点与开环零、极点的关系 三、根轨迹方程 特征方程： K称为根轨迹增益 单位反馈系统开环传递函数 特征方程：s(s+1)(s+2)+(s+2)+k=0 4．2根轨迹的基本特性及绘制规则 一、根轨迹的两个基本条件 ，特征方程为 即 令等式两边相角和幅值相等，可得根轨迹的两个基本条件： 幅值条件： *确定根轨迹上某点对应的K值 两个基本条件的具体化： 或 已知开环传函 相角条件： s1=-0.825 s2,3= -1.09±j2.07 -1.5 -1 -2 0.5 2.26 78.8o 2.11 2.61 127.53o 92.49o 2.072 K*= 2.26×2.11×2.61 2.072 = 6.0068 92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o -1.09+j2.07 66.27o 二、画根轨迹的基本规则 1．根轨迹的条数就是特征根的个数n 2．根轨迹对称于实轴 3．n条根轨迹分支，起始于n个开环极点，终止于m个开环零点和（n-m）个无穷远点。(nm) 4．如果nm，则当K→∞时，有（n-m）条根轨迹沿（n-m）条渐近线趋于无穷远处，这（n-m）条渐近线与实轴的公共交点为： 倾角（方向角）为： 5．实轴上的根轨迹仅决定于实轴上的开环极点和开环零点。若实轴上某线段右边的实零、极点总数为奇数，则该线段是根轨迹，为偶数时不是。 6．根轨迹的分离点与分离角。两条或两条以上根轨迹分支在s平面相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向的夹角称为根轨迹的分离角。 分离点的坐标d满足方程： ★无零点时， 设 分离点满足方程： 实轴上的分离点与会合点：如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点（一个极点可位于无穷远处）之间，则这两个极点之间至少存在一个分离点；如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点（一个零点可位于无穷远处）之间，则这两个零点之间至少存在一个会合点；如果根轨迹位于实轴上一个开环极点和一个开环零点之间，则这两个相邻的极点、零点之间，或者既不存在分离点，也不存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。（分离点：根轨迹分支相遇并离开实轴的点。会合点：根轨迹分支相遇并进入实轴的点。） 例：已知 ,确定分离点或会合点,证明根轨迹在实轴外的部分是圆。 7．根轨迹在复数极点处的出射角（起始角）为： 根轨迹在复数零点处的入射角（终止角）为： 8．根轨迹与虚轴的交点及临界根轨迹增益值可用劳思判据或令特征方程中s=jω求得。 例：已知开环传函 求根轨迹与虚轴的交点。 9．已知特征方程 的n个根为 ，则有： 当 时，无论K取何值，n个开环极点之和等于n个闭环特征根之和 *规则9用在已知某些极点，确定其它极点的题中。 例：已知 求分离点和会合点 例：已知 画出根轨迹。 画出根轨迹。 例：已知 例：已知开环传函 K=6时， 求 4．3广义根轨迹 (前面按根轨迹方程K从0→∞变化时的根轨迹叫常规根轨迹) 除根轨迹增益K变化以外的根轨迹统称为广义根轨迹。 如：参数根轨迹，mn时的根轨迹，零度根轨迹 一、参数根轨迹 以根轨迹增益K以外的参数为可变参数绘制的根轨迹，称为参数根轨迹。 例： ，画以Ta为可变参数的根轨迹。 二、多个参变量的根轨迹族 例：已知开环传函为 ,画出关于K,T的根轨迹。 三、零度根轨迹 *有时所研究的系统,其根轨迹的相角条件不是(2k+1)π,而是2kπ,故称为零度根轨迹。 相角条件为2kπ的根轨迹，称为零度根轨迹。如： K从0→-∞变化时的根轨迹 K从0→∞变化时的根轨迹 正反馈： 对于正反馈系统： 已知开环传函 ，特征方程为 即 令等式两边相角和幅值相等，可得零度根轨迹的两个基本条件： 幅值条件： 相角条件： *前面画常规根轨迹的九条规则中，跟相角条件有关的规则改变，其它不变。 规则1、2、3、6、8、9不变。 规则5．若实轴上某线段右边的实零、极点总数为偶数，则该线段是根轨迹。 规则4．如果nm，则当K→∞时，有（n-m）条根轨迹沿（n-m）条渐近线趋于无穷远处，这（n-m）条渐近线与