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1 方差分析的基本概念 经常遇到这样的问题，有几种不同的原料，要考查它们对产品质量有没有显著的影响。某种新药与其它一些传统药物对病人进行分组实验来考查不同的药物与治愈率有否明显不同，这里我们考查的对象，原料，药物称为因素，当考查的因素只有一个时我们称为单因素问题。如果同时考虑两个或更多的因素问题，则称多因素方差分析（这时计算起来很复杂）。 例：考查温度对某一化工厂产品得率的影响，选了五种不同温度，同一温度做了三次试验，测得结果如下： 方差分析解决这类问题的思想是： l?? 由数据的总变差中分离出随机误差和系统误差。 l???用系统误差和随机误差在一定条件下进行比较，如差异不大则认为系统误差对指标的影响不大，如系统误差比随机误差大的多，则说明条件的影响很大。以上面的例子说明即温度的变化对得率的影响很大，因此调整温度对产量的影响很大。 l???选择较好的工艺条件或确定进一步的实验方案。 这里介绍几个方差分析术语： 因素：实验中的每一个条件，如上例的温度便是一个因素。 水平：因素在实验中的等级称为水平，如上例中因素温度分为五个水平：60℃65℃，70℃，75℃，80℃。如果把因素记为A，则相应地把水平记为A1, A2, A3, A4, A5. 样本：在同样条件下得到不同的实验结果每个结果称为样本。 2 单因素方差分析 3 多因素方差分析 单因素方差分析的基本思想是在试验条件下,我们将总的误差平方和分离成随机误差Se和系统误差SA，并将其加工成F=SA/Se统计量，当F比1很多时，则认为系统因子即因素对结果有特别的影响。将这一思想推广到多因素A1，A2，……，AP即得多因素方差分析。 以三因素A，B，C为例，我们来推导三因素方差分析的算法，其他多因素方差分析可以同理推广。对因素水平的某一组合如果实验次数为一次，称为无重复实验。若实验次数为多次则称多因素可重复方差分析。这里每一组合的重复次数必须一样。 * * 方差分析 一、方差分析的基本概念 二、单因素方差分析 三、 多因素方差分析(MNOVA) 现在分析温度的变化对得率的影响。从平均得率来看，好象温度对得率是有一定的影响，但详细观察一下数据就会发现问题，表现在： （1）同一温度下得率并不完全一样，产生这种差异的原因是由于试验过程中各偶然因素的干扰及测量误差所致，这一类误差称为试验误差，或随机误差。 （2）两种温度的率不同的试验中的倾向有所差别。如65℃与70℃相比，第一产65℃比70℃好，而后二次70℃比65℃好。产生这种矛盾现象，显然也可能是由于随机误差的干扰。由于随机误差的存在，对于不同温度下的得率的差异自然要提出疑问，这差异是随机误差造成的呢，还是温度不同的影响。由于温度的不同而引起得率的差异我们称为组间误差或系统误差。 上例全部15个数据掺差不齐，它们的差异叫总变差。产生总变差的原因有两个 1) 随机误差 2) 系统误差 设因素A取了M个水平，每个水平重复了N次实验得到MN个样本，在水平Ai下的第 j 次实验结果（样本）Xij 可以分解为： (6.2.1) 这里εij ~ N（0，1）。 为了看出因素各水平影响的大小，将 Xij 再进行分解, 令 (6.2.2) 令 显然{ai}之间有关系 Ai 表示水平 Ai 对实验结果产生的影响，它称做水平 Ai 的效应。 方差分析模型就是建立在以下假定之下： 1） 2） 3） （一）参数估计 即通过实验估计μ和{ai}，其估计量记为和μ和{ai} 。令 则 这里 取 是μ的一个无偏估计。 类似地可以推出 的无偏估计是 此时方差分析模型可以改写为： 反映了误差 。由于 ， ， 均为已知故 可以通过样本求得。 （二）统计检验 如果因素A对指标有显著的影响，效应{ai}不全部为零，反之则全为零。因此我们假设 基本思想是将总变差进行分离，即系统误差和随机误差。 设：Stotal 总变差，即 注：交叉项在线性假设下为 0。这里统计量 对它们取期望值，利用 有 令 则有 如果H0：成立，则 ，从而 与 之比应近于1，即 统计量 F 值应近于 1。如果因素 A 对指标有显著的影响 则 将显著的大于1，这就是为什么可以用统计量 F来进行检验因素 A 是否显著的道理。 由统计理论推知，在线性模型假设下， 服从（M-1）个自由度的