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[研究生入学考试]考研数学重要知识点解析——概率论与数理统计六
2012考研数学重要知识点解析——概率论与数理统计（六）
万学海文
矩估计法和最大似然估计法在考研数学中经常以解答题形式出现，这类题目一般不难，解题思路比较固定，所以万学海文数学考研辅导老师们在此主要就矩估计法和最大似然估计法这两个知识点，为广大2012年的考生们进行详细讲解.
1、矩估计法
矩估计法的思想是用样本矩来估计相应的总体矩.
解题思路：
(1)若总体分布中只有一个未知参数，则令，求出未知参数的矩估计量（值）.
(2)若总体分布中有两个未知参数，则令
，或，求出未知参数的矩估计量（值）.
其中，，.
2、最大似然估计法
最大似然估计法的思想是求未知参数使得样本获取样本值的概率最大.
解题思路：
（1）似然函数：
1）若总体是离散型随机变量，概率分布为则似然函数为;
2)若总体是连续型随机变量，概率密度为，则似然函数为.
（2）取对数：；
（3）求导：；
（4）若驻点存在且唯一，则该值为所求的最大似然估计值；若驻点不存在，则最大似然估计值在边界点上找.
以上就是矩估计法和最大似然估计法的具体解题步骤，下面我们通过一个例题来看具体应用：
例 设总体服从上的均匀分布，是取自总体的一个简单随机样本，试求：（I）未知参数的矩估计量；
（II）未知参数的最大似然估计量.
【解析】（I）依题意，,
令，即,因此的矩估计量为.
（II）的密度函数为
似然函数为
当时，.显然，是单调减函数，越小，就越大，但，所以是的最大似然估计量.
在求最大似然估计量（值）时，同学们往往不能正确写出似然函数，这里一定要注意随机变量是离散型的还是连续型的.
若总体是离散型随机变量，概率分布为则似然函数为;
若总体是连续型随机变量，概率密度为，则似然函数为.
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