[理学]二重积分的计算方法2.pptVIP

第一章 行列式 二、小结 * http://mooker.80.hk 一、利用极坐标系计算二重积分 第二节 二重积分的计算法(2) 二、二重积分的换元法 一、利用极坐标计算二重积分 极坐标下的面积元素 二重积分化为二次积分的公式 (1)区域特征如图(极点在区域外) (2)区域特征如图 (极点在区域边界上) 极坐标系下区域的面积 (3)区域特征如图 (极点在区域内部) 注 一般,在极坐标系下计算: 1.当区域是圆或圆的一部分,或者区域D的边界方程用极坐标表示较简单. 何时采用极坐标系来计算? 2.当被积函数为 等形式. 解 例 写出积分 的极坐标二次积分 其中积分区域 形式, 计算 所围成的平面闭区域. 例 及直线 解 解 例 计算 其中D: 解 求反常积分 例 显然有 ------概率积分 夹逼定理 双纽线 求曲线 所围成的图形的面积.(如图） 例 解 在极坐标系下 面积 因被积函数 D2 极坐标 计算 例 分析 故 的 在积分域内变号. D1 例 求球体 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解 由对称性可知只需求第一卦限部分体积V1, x z o y 2a 被积函数(曲顶)为: 积分区域(底)为: x z o y 2a 例 将累次积分： 化为极坐标下的累次积分，并计算. 解 二重积分的计算规律 1. 交换积分次序: 再确定交换积分次 先依给定的积分次序写出积分域D的 不等式, 并画D的草图; 序后的积分限; 2. 如被积函数为 圆环域时, 或积分域为 圆域、扇形域、 则用极坐标计算; 3. 注意利用对称性质, 以便简化计算; 数中的绝对值符号. 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应 将积分域分割成几个子域, 使被积函数在 每个子域中保持同一符号, 以消除被积函 o x y 解 将直角坐标系下累次积分: 化为极坐标系下的累次积分. 原式= 解 1994年研究生考题, 填空, 3分 解 极坐标 计算二重积分 2003年研究生考题(数学三、四)计算, 8分 其中积分区域 答案 二重积分在极坐标下的计算公式 （在积分中注意使用对称性） 作业 习题8-2(2) (82页) 2.(1) (4) 3. 4. 5.(2) 6. ﹡二、二重积分的换元法 设被积函数 在区域D上连续, 若变换 满足如下条件: (1) 一对一地变为 D上的点; (2) 有连续的一阶偏导数, 且雅可比行列式 基本要求 注意 变换后定限简便, 求积容易． 例 解 所围成的闭区域. 其中D为椭圆 作广义极坐标变换 * http://mooker.80.hk * * * *