[理学]ch07二元关系.pptVIP

第七章 二元关系 本章说明 第七章 二元关系 7.1 有序对与笛卡儿乘积 定义7.1 由两个元素x,y（允许x=y）按一定顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作x,y,其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 有序对x,y具有以下性质： 当x≠y时， x,y ≠ y,x (2) x,y=w,v ?x=w ∧ y=v 例：已知x+3,y-2=y+7,3y-x，求x和y。 解：由有序对相等的充要条件得 x+3=y+7 y-2=3y-x 解得x=6,y=2 第七章 二元关系 定义7.2 设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A×B。 笛卡儿积的符号化表示为： A × B={x,y|x ∈ A ∧ y∈ B} 例如：若A={1,2}, B={a,b,c},则 A×B={1,a, 1,b, 1,c, 2,a, 2,b, 2,c} B×A={a,1, a,2, b,1, b,2, c,1, c,3} 易知：若|A|=m,(即集合A的元素的个数),|B|=n,则 | A×B|= |B×A|=mn 第七章 二元关系 笛卡儿积的性质： 1、对任意集合A，根据定义有 A × φ = φ × A= φ 2、一般来说，笛卡儿积不满足交换律，即 A×B≠B×A（当A ≠ φ∧ B ≠ φ ∧ A ≠ B时） 3、笛卡儿积不满足结合律，即 (A×B) ×C≠A×(B ×C)（当A≠φ∧B≠φ∧C≠φ时） 4、笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即 A×(B∪C)= (A×B)∪(A × C) (B∪C) × A = (B×A)∪(C ×A) A×(B∩C)= (A×B) ∩(A × C) (B∩C) × A = (B×A) ∩(C ×A) (见P103，下证最后一式) 第七章 二元关系 证明： (B∩C) × A = (B×A) ∩(C ×A) 对于?x,y x,y ∈ (B∩C) × A ? x∈(B ∩C) ∧y ∈ A ? x∈B ∧x ∈ C ∧ y ∈ A ? x∈B ∧x ∈C ∧ y ∈ A ∧ y ∈ A ? (x∈B ∧y ∈A) ∧(x ∈ C ∧ y ∈ A) ? x,y∈ B × A ∧ x,y∈ C × A ? x,y∈ (B×A) ∩(C ×A) ∴ (B∩C) × A = (B×A) ∩(C ×A) 第七章 二元关系 5、A ? C ∧ B ? D = A×B ? C ×D 证明：对于?x,y x,y ∈ A×B ? x∈A ∧y ∈ B = x∈C ∧y ∈ D (∵ A ? C ∧ B ? D ) ? x,y ∈ C×D ∴ A×B ? C ×D 注意：此性质的逆命题，只有当A=B= φ或A≠ φ且B≠ φ时才成立，其它情况不成立。详见下页讨论. 关于A?C∧B?D ? A×B?C×D的讨论 该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （1）当A=B=?时，显然有A?C 和 B?D 成立。 （2）当A≠?且B≠?时，也有A?C和B?D成立，证明如下： 任取x∈A，由于B≠?,必存在y∈B,因此有 x∈A∧y∈B ? x,y∈A×B ? x,y∈C×D ? x∈C∧y∈D ? x∈C 从而证明了 A?C。 同理可证 B?D。 关于A?C∧B?D ? A×B?C×D的讨论 该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （3）当A＝?而B≠?时，有A?C成立，但不一定有B?D成立。 反例：令A＝?,B＝{1},C＝{3},D＝{4}。 （4）当A≠?而B＝?时，有B?D成立，但不一定有A?C成立。 反例：类似(3)中反例。 第七章 二元关系 例7.3：设A， C， B， D为任意集合，判断以下命题是否为真，并说明理由。 A×B= A×C =B= C A-(B×C)=( A-B)×(A-C) A=B ∧ C=D =A×C= B×D 存在集合A,使得A ? A × A. 解： 不一定为真。反例A= φ,B、C为任意不相等的非空集合。 不一定为真。反例A= {1},B={2},C={3}. 为真。由等量代换原理得证。 为真。当 A= φ时成立。 第七章 二元关系 练习：设A， C， B， D为任意集合，判断以下命题是否为真，并说明理由。 (A ∩B)×(C ∩D) = (A×C) ∩(B ×D) (2) (A ∪B)×(C ∪D) = (A×C) ∪(B ×D) (A -