高考数学（文）一轮复习知能训练：专题五《立体几何》.docVIP

专题五　立体几何 　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列命题中，假命题的个数为(　　) ①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边；②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为(　　) A．a2 B.a2 C.a2 D.a2 3．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 6．给出命题： ①在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行； ②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α； ③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件； ④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心； ⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确的命题是______________________(只填序号)． 7．(2012年辽宁)一个几何体的三视图如图K5-1，则该几何体的表面积为____________． 图K5-1 8．(2013年广东广州一模)如图K5-2，在三棱锥P－ABC中，∠PAB＝∠PAC＝∠ACB＝90°. (1)求证：平面PBC⊥平面PAC； (2)若PA＝1，AB＝2，当三棱锥P－ABC的体积最大时，求BC的长． 图K5-2 9．如图K5-3，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF. (1)求证：NC∥平面MFD； (2)若EC＝3，求证：ND⊥FC； (3)求四面体N－FEC体积的最大值． 图K5-3  专题五　立体几何 1．B　2.D　3.C 4．A　解析：连接AC，则AC是PC在平面ABCD上的射影．∴∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．∵AB＝1，BC＝，∴AC＝.∴在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝.∴∠PCA＝30°.故选A. 5．C　解析：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又△A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°. 6．②④　解析：①错误，垂直于同一平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要非充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时可以作出满足要求的平面． 7．38　解析：由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2(3×4＋4×1＋3×1)＋2π×1×1－2π＝38. 8．(1)证明：因为∠PAB＝∠PAC＝90°， 所以PA⊥AB，PA⊥AC. 因为AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC. 因为BC?平面ABC，所以BC⊥PA. 因为∠ACB＝90°，所以BC⊥CA. 因为PA∩CA＝A，所以BC⊥平面PAC. 因为BA?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC. (2)方法一，由已知及(1)所证可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA， 所以PA是三棱锥P－ABC的高． 因为PA＝1，AB＝2，设BC＝x(0x2)， 所以AC＝＝＝. 因为VP－ABC＝S△ABC×PA ＝x ＝ ≤× ＝. 当且仅当x2＝4－x2，即x＝时等号成立． 所以当三棱锥P－ABC的体积最大时，BC＝. 方法二，由已知及(1)所证可知，PA⊥平面ABC， 所以PA是三棱锥P－ABC的高． 因为∠ACB＝90°，设∠ABC＝θ， 则BC＝ABcosθ＝2cosθ，AC＝ABsinθ＝2sinθ. 所以S△ABC＝×BC×AC＝×2cosθ×2sinθ＝sin2θ. 所以VP－ABC＝S△ABC×PA ＝sin2θ. 因为0θ， 所以当θ＝时，VP－ABC有最大值为. 此时BC＝2cos＝. 所以当三棱锥P－ABC的体积最大时，BC＝. 9．(1)证明：因为四边