[工学]曲线积分与曲面积分测试题解答.docVIP

曲线积分与曲面积分测试题解答 1．已知曲线弧，计算。 解： ， 。 注：计算曲线积分时，对圆弧宜用参数方程。 2．设是曲线上从点（1, 1）到点（2, 2）的一段弧，计算 解： =。 3．计算，为圆周沿逆时针方向。 解：设，由格林公式得 。 4．计算，其中为上半圆周沿逆时针方向。 解：记为上从到的有向线段，， 由格林公式得 ， 又 ， 所以 。 5．证明曲线积分与路径无关，并计算积分值。 解：，，，，， 故曲线积分与路径无关， 。 6．利用线积分计算星形线所围成图形的面积。 解： 。 7．计算曲线积分，其中是以点为中心，为半径的圆周（），取逆时针方向。 解：取，沿逆时针方向。记为与所为环域， ，， ，， 由格林公式得 ， 。 8．设函数在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无关，且对任意 恒有 求。 解：由曲线积分与路径无关， 知 ，， ， ， 由题设知 ， 两边对求导得 ，， 从而 ，所以。 9．在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点，问取何值时，力所作的功最大？并求出的最大值。 解：原点到点的直线段为：，从0到1， 功为 ， 下面求在条件 （1） 下的最大值。 作拉格朗日辅助函数 ， 建立方程组 解此方程组，得，由问题的实际意义知，。 10．计算，其中为上半球面。 解：在面上的投影区域为， ， 。 11．计算，其中为曲面在第一卦限的部分取上侧。 注：由， 可得公式 。 解：在面上的投影区域为， 由公式 得 。 12．计算曲面积分, 其中是曲面 的上侧。 解：取为平面上圆的下侧，记为由与围成的空间闭区域 由高斯公式知 ， 而 因此 。 4