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第五章 矩阵分析基础 §5.1 向量和矩阵的范数 1.向量范数 定义1:设X ? R n,??X?? 表示定义在Rn上的一个实值函数, 称之为X的范数,它具有下列性质: (3)三角不等式:即对任意两个向量X、Y? R n,恒有 (1) 非负性:即对一切X ? R n,X ? 0, ??X?? 0 (2) 齐次性:即对任何实数a ? R,X ? R n, 设X = (x1, x2,…, xn)T,则有 (1) (2) (3) 三个常用的向量范数: 范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数,若存在 常数 C1、C2 0 使得 , 则称 ‖·‖A 和‖·‖B 等价。 定理1:定义在Rn上的向量范数 是变量X分量的 一致连续函数。 定理2:在Rn上定义的任一向量范数 都与范数 等价, 即存在正数 M 与 m ( Mm ) 对一切X?Rn,不等式 成立。 推论:Rn上定义的任何两个范数都是等价的。 对常用范数,容易验证下列不等式: 定义2:设给定Rn中的向量序列{ },即 其中 若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有 则向量 称为向量序列{ }的极限,或者说向量序列{ } 依坐标收敛于向量 ,记为 定理3:向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是 向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。 2、矩阵范数 定义3 设对任意矩阵 A∈Rn×m,按一定的规则有一实数与之对应,记为‖A‖,若‖A‖满足 则称‖A‖为矩阵A的范数。 定义4 (矩阵的算子范数) 正定性 三角不等式 矩阵范数与向量范数的相容性 相容性 例5: 设A=(aij)∈M. 定义 证明:这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明:设 从而 注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。 定义5: 设|| · ||为Rn×n上的矩阵范数,A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。 定义6:设给定Rn×n中的矩阵序列{ },若 则称矩阵序列{ }收敛于矩阵A,记为 定理6 设B∈Rn×n,则由B的各幂次得到的 矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵 ( )的充要条件 为 。 4. 矩阵的条件数 定义5 设矩阵 为非奇异矩阵,则称 为矩阵 的条件数,其中 是矩阵的算子范数。 对矩阵 的任意一个算子范数 有 (2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 为非零常数; (3)若 , 则 注: cond (A) 与 所取的范数有关 常用条件数有: cond (A)2 特别地,若 A 对称,则 cond (A)1 =‖A‖1 ‖ ‖1 cond (A)? =‖A‖? ‖ ‖? § 5.2 初等矩阵 初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用,本节介绍 一般形式的初等矩阵,它是矩阵计算的基本工具。 5.2.1 初等矩阵 定义6 设向量 ,则形如 的矩阵叫做实初等矩阵,其中 是 阶单位矩阵, 向量 , 为初等下三角阵。 定理5.2.1 初等下三角阵 具有如下性质: (1) ; 5.2.2 初等下三角矩阵 定义7 令向量 则称矩阵 (3) 任何一个单位下三角阵 都可分裂成 因此,对任一非奇异下三角阵 ,都可分裂成一个非奇异 对角阵和若干个下三角阵的乘积。 (4) 左乘矩阵 的结果是从 的各行中减去第 行乘一个因子。 初等下三角阵在矩阵的满秩分解、三角分解以及解线性代数方程组的直接解法中起着重要的作用。 (2) 为单位下三角阵 ; * *
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