数学物理方法第4章留数定理-2016演示幻灯片.ppt

若z在上半平面及实轴上趋于∞时，f(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即 式中m0，CR是以原点为圆心、R为半径的上半圆周，参看图2.3. 引理2 (若当引理): 则 (4.2.3) 第四、五型积分的计算，要利用引理3，它指出f(z)沿图4.3的无穷小半圆周的积分结果。 引理 3 若b是f(z)在实轴上的一阶极点，则 证明 由于b点是f(z)的一阶极点，因而在b的无心邻域中， f(z)的洛朗级数的最低次幂为(z-b)-1，即 下面分别介绍五大类型积分的 特征 基本方法 常用技巧 §4.2.1 型积分 1. 积分的特征：被积函数是cosq, sinq的有理实函数；积分区间为[0,2p],如果不是，应先变为[0,2p] 2. 计算方法，首先作变换z = eiθ, 把被积函数变成复变函数 其次，把沿[0,2p]的积分变成沿单位圆的回路积分．利用留数定理可得  即积分等于2pi乘函数 在|z|=1圆内所有奇点处留数之和. 【例4.2.1】计算积分 式中a0 解 首先作变换q=2x, 将积分区间化为[0,p]，再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为[-p,p] 其次，令z=eiq，即可将对q的积分变为沿|z|=1 的回路积分 第三，被积函数有两个一阶极点 z1,2 = 易见z1在|z|=1的回路内部,| z2 |在回路外． 根据留数定理 §4.2.2 f(x)dx 型积分 1. 积分特征 f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个①孤立奇点bk ( k =1，2，…，n)外解析； 当z在上半平面及实轴上趋于∞时，zf(z)一致地趋于零(与辐角无关) 其次，选择辅助函数f(z)。 通常将f(x)的x改为z(有时也要改变函数形式，见例4.2.7.例4.2.8 ) 第三，选择积分与回路．当积分具有上述特征时，受引理1的启发，增加无穷大的半圆周CR，构成闭合回路L(图4.4). 根据留数定理、积分主值的定义，以及引理1的结论 则有 【例4.2.2】计算积分 解 (1)辅助函数． 由于被积函数为偶函数，故 令辅助函数 (2) 积分回路． (3)按留数定理计算 增加无穷大半圆周CR 构成闭合(图4.5) 它在上半平面有无限多个极点 bk=(2k+1)i，k=0,1,? 但这些留数有简单的规律，仍可按第二型积分计算． 仍可取图4.5的回路。 f(z)在回路中所有奇点处的留数为(见习题4.1.4) (2) 积分回路．因为 (3)按留数定理计算 §4.2.3 1. 积分特征 f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk(k=1,2,?）外解析； 当z在上半平面及实轴上趋于 ∞时，f(z)一致地趋于零(与辐角无关） 2.计算方法 与第二类型不同的是，第三类型积分的被积函数满足引理2(若当引理)的条件． 类似地，增加无穷大的半圆周CR (图4.4)，构成闭合回路L。根据留数定理，积分主值的定义，以及引理2的结论 则有 为书写简单起见，式中已采用简单记号 由此可得式(4.2.10)~式(4.2.13)四个公式： 第4章 留数定理 包含奇点的积分如何求？ 柯西(Augustin Louis Cauchy, 1789—1857) 法国数学家、物理学家、天文学家 他的父亲与Lagrange, Lapalce交往密切 柯西极限，柯西不等式，柯西积分公式，柯西定理等 （800篇论文） 拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813） 法国著名数学家、物理学家 （拉格朗日中值定理 ，分析力学的创立者 ， 天体力学的奠基者 ） 拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827) 是法国分析学家、概率论学家和物理学家 天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一 ，分析概率论的创始人 §4.1.0 复习 柯西定理 柯西公式 =? L 逆时针+L0 顺时针 f(z)在除起点外解析 §4.1.1 留数定理 一、留数（残数，Residue, 缩写Res）的定义 二、留数定理 (柯西留数定理) 式中 它等于f(z)在bk的无心邻域的洛朗展开中的洛朗系数 称为f(z)在bk处的留数, f(z) 的