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第 3 次 课 § 克莱姆法则 目的要求： 1、掌握克莱姆法则解线性方程组 2、应用拉普拉斯定理计算行列式 3、第一章 习题小结 在§1.2中，我们知道二元线性方 程组当系数行列式 一、克莱姆法则 二、重要定理 例1 解方程组 解： 例2 解： 补充：三次多项式因式分解 例3 当k取何值时，方程组 解： 小结与思考 三、定理1.5 拉普拉斯（Laplace）定理 若在n阶行列式D中，任选定k行 （列）由这个k行（列）元素所组 成的所有k阶子式与其对应的代数 余子式乘积之和等于D 例4： 解： 例5： 解： 第一章 习题课 计算行列式 （1）化上（下）三角行列式 解： 证明： （2）按一行（列）展开，但应先恒 等变形，将该行（列）化出较多的零 解： 解： （3）按多行（列）展开，拉普拉斯定理 解： （4）各行（列）元素之和都相等 解： （5） 利用范德蒙行列式 例1： 例如： 证明： （6）爪型行列式（箭型行列式） （7）加边法（升阶法） 解1： 解2： 加边法（升阶） 计算行列式 用加边法（升阶） （8） 递 推 法 例： 解： 例： 解： 例： 可化为爪型（箭型行列式）的行列式 P14.1.（7） 解： P14.1.（3） D 解3： 例： 解： 思考题解答 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 特点：行列式中零元素较多，稀疏行列式 由于D中第二、四行零元素较 多，故选定这两行展开，可组成 其中不为零的只有一个 由于D中5、6两列零元素较多， 故选定这两列展开，可组成 但其中不为0的只有一个 P14.1.（5） 将第一列每项与二、三、… n列对换，经过n-1次对换 P14.2.证明（3） P29.1.（3） 按第一列展开 按第一行展开 P29.1.（4） P23.2.（1） 按二、四两行展开 P14.1.（6） 把二、三、…n列依次加到第一列 四阶范德蒙行列式 P29（2） 证明： 数学归纳法 1）当n=2时 2）假设n-1阶范德蒙行列式成立 则n阶范德蒙行列式 （从下至上每一行 减去前一行的x1倍） * * 时有唯一解， 这个结论可推广到n元线性方程组 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 （1） 那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以表为： ≠ 0 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用线性方程组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即 证明 在把 个方程依次相加，得 用D中地j列元素的代数余子式 依次乘方程组（1）的n个方程，得 由代数余子式的性质可知,上式中 均为0；又等于右端为 的系数等于D，而其余 的系数 于是 当 时,线性方程组（2）有唯一的一个解 （2） 线性方程组（1）与线性方程组（2）等价, 故 也是线性方程组的（1）解. 由于 如果线性方程组（1）的系数行列式 则（1）一定有解,且解是唯一的 . 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零. 定理1.6（克莱姆法则） 推论 齐次线性方程组的相关定理 （2） 　 如果齐次线性方程组（2）的系数行式， 则齐次线性方程组（2）没有非零解. 定理1.7 如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它的系数行列式必为零. 推论 有非零解 方程组有非零解 有非零解 方程组有非零解 有非零解？ 例3 问 取何值时，齐次方程组 解 齐次线性方程组有非零解，则 齐次线性 所以 或 时， 方程组有非零解. 1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? *