[理学]第七章 系统的稳定性分析第二讲.pptVIP

在有些情况下，开环频率特性的乃奎斯特曲线比较复杂，确定特征方程角度的变化或开环频率特性包围（－1，j0）点的圈数比较困难，因此，引出了正、负“穿越”的概念。 7.4 乃奎斯特稳定性判据 * 代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能的影响。 两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称乃氏判据）和对数频率稳定判据。 Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性； 对数频率稳定判据根据开环对数频率特性曲线判断闭环系统稳定性； 两种频率稳定判据没有本质区别。 频域稳定判据的特点：根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。 闭环系统 闭环传递函数为 为了保证系统稳定，特征方程 的全部根，都必须位于左半s平面。 的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。 虽然开环传递函数 7.4 乃奎斯特稳定性判据 乃奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 与 在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。 由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析 。 特点： 它是根据开环系统的频率特性来判定闭环系统的稳定性。 7.4 乃奎斯特稳定性判据 Nyquist稳定判据的优点 图解法、几何判据，简单、直观、计算量小（劳斯/赫尔维茨判据是代数判据）。 可以不必知道系统的微分方程和传递函数，而只依靠解析法或实验法获得的开环频率特性便可应用。 有助于建立相对稳定性的概念。 Nyquist判据的数学基础：复变函数论中的映射定理，又称幅角定理、米哈伊洛夫定理。 7.4 乃奎斯特稳定性判据 一阶系统 特征方程：D(s) = s + p ＝ 0 特征根：s = -p 0，系统稳定。 D(s)可视为复平面上的向量。 当?变化时， D(j?)的端点沿虚轴滑动，其相角相应发生变化。 s -p s -p s + p Re Im 0 在频域该向量为：D(j?) = p + j? 7.4.1 米哈伊洛夫定理 7.4 乃奎斯特稳定性判据 7.4 乃奎斯特稳定性判据 由图易知，当?由0变化到?时， D(j?)逆时针旋转90°，即相角变化了? /2。 Im 若特征根为正实根，则当?由0变化到?时： j? Re Im 0 ? D(j?) -p -p ? 二阶系统 -p1 -p2 Re Im 0 ?1 ?2 j?+p1 j?+p2 -p1 -p2 Re Im 0 ?1 ?2 j? + p1 j?+p2 当?由0变化到?时： 当?由0变化到?时： 实根情形(? ? 1) 7.4 乃奎斯特稳定性判据 共轭复根情形(0?1) Re Im -p1 -p2 0 ?1 ?2 j?+p1 j?+p2 ?0 ?0 当?由0变化到?时， j?+p1的相角变化范围： j?+p2的相角变化范围： ?0 ~ ?/2 变化量：?/2–?0。 -?0 ~ ?/2 变化量：?/2+?0。 设根位于左半s平面。 7.4 乃奎斯特稳定性判据 Re Im 0 -p1 -p2 ?1 ?2 j?+p1 j?+p2 ?0 ?0 根位于右半s平面。 当?由0变化到?时， j?+p1的相角变化量： j?+p2的相角变化量： -?/2+?0 -?/2-?0 7.4 乃奎斯特稳定性判据 n阶系统 若有p个特征根在右半s平面，q个根在原点，则当?由0变化到?时，其角增量为： 此即为米哈伊洛夫定理。 7.4 乃奎斯特稳定性判据 推论 若n次多项式D(s)的所有根都位于复平面的左半平面，则当以s= j?代入D(s)并命?由0变化到?时，其角增量为： 7.4 乃奎斯特稳定性判据 G(s) H(s) Xi(s) Xo(s) 7.4.2 乃奎斯特稳定性判据 7.4 乃奎斯特稳定性判据 开环传递函数： 闭环： 即分子为系统闭环特征多项式，分母为系统开环特征多项式。 一般G(s) 和H(s) 的分母多项式的阶次均大于其分子多项式的阶次，故闭环特征方程的阶次等于开环特征方程的阶次，均为n阶。 7.4 乃奎斯特稳定性判据 令辅助函数： 其中，DB(s)为闭环特征多项式。 ?由0变化到?时，向量F(j?)的相角变化量 7.4 乃奎斯特稳定性判据 开环稳定时 若闭环也稳定，当?由0变化到?时： 从而： 上式表明，若系统开环稳定，则当?由0变化到?时， F(j?) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。 根据米哈伊洛夫定理推论： 7.4 乃奎斯特