[理学]9-2 二重积分的计算方法.pptVIP

* 又 二重积分的计算法 对称性质 * 概率积分 夹逼定理 即 所求反常积分 二重积分的计算法 * 解 计算 所围成的平面闭区域. 例 及直线 二重积分的计算法 * 解 双纽线 求曲线 所围成的图形的面积. 例 根据对称性有 在极坐标系下 二重积分的计算法 由 得交点 面积 * 将直角坐标系下累次积分: 化为极坐标系下的累次积分. o x y 解 原式= 二重积分的计算法 * 1994年研究生考题, 填空, 3分 解 极坐标 二重积分的计算法 * 计算 因被积函数 D2 极坐标 例 分析 故 的 在积分域内变号. D1 二重积分的计算法 * 计算 解 积分区域D关于x轴对称, 被积函数关于y为偶函数. 原式= 记D1为D的y≥0的部分. 则 D1 二重积分的计算法 * 二重积分的计算规律 再确定交换积分次 1. 交换积分次序: 先依给定的积分次序写出积分域D的 不等式, 并画D的草图; 序后的积分限; 2. 如被积函数为 圆环域时, 或积分域为 圆域、扇形域、 则用极坐标计算; 二重积分的计算法 * 3. 注意利用对称性质, 数中的绝对值符号. 以便简化计算; 4. 被积函数中含有绝对值符号时, 应 将积分域分割成几个子域, 使被积函数在 每个子域中保持同一符号, 以消除被积函 二重积分的计算法 * 例 计算 分析 从被积函数看, 用极坐标系要简单些, 但从积分域D的形状看 为宜. 用却又以直角坐标系 在两者不可兼得的情况下, 应以D的形状 来决定用什么坐标系, 此题用直角坐标系. 二重积分的计算法 * 二重积分的计算法 * 二重积分的计算法 2003年研究生考题(数学三、四)填空, 4分 而D表示全平面,则 * ▲ ﹡三、二重积分的换元法 设被积函数 在区域D上连续, 若变换 满足如下条件: (1) 一对一地变为 D上的点; (2) 有连续的一阶偏导数, 且雅可比行列式 二重积分的计算法 ▲ * 基本要求 注意 变换后定限简便, 求积容易． 二重积分的计算法 * ▲ 例 解 所围成的闭区域. 二重积分的计算法 其中D为椭圆 作广义极坐标变换 * ▲ 故换元公式仍成立, 极坐标 二重积分的计算法 * ▲ 例 解 令 则 即 二重积分的计算法 * ▲ 故 二重积分的计算法 * ▲ 证明 证 法一 交换积分次序 累次积分 二重积分的计算法 * ▲ 二重积分的计算法 * ▲ 证明 法二 令 则 二重积分的计算法 * ▲ 故 对称性 二重积分的计算法 四、小结 * 二重积分在直角坐标系下的计算 二重积分在极坐标系下的计算公式 (注意使用对称性) 二重积分的计算法 (注意正确选择积分次序, 掌握交换积分次序的方法) 恰当选择坐标系计算二重积分 (注意选择的原则) * ▲ 思考题1 1995年考研数学(一)5分 解 令 不能直接积出, 改变积分次序. 法一 二重积分的计算法 * ▲ 故 二重积分的计算法 * ▲ 法二 设 则 则 二重积分的计算法 * ▲ 思考题2 设有一曲顶柱体, 以双曲抛物面 坐标面为底, 试求这个柱体的体积. 解 由题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影, 即积分域D(如图), 由D的形状可知用极坐标计算 曲顶柱体的体积简便. 二重积分的计算法 * ▲ 以双曲抛物面 故 二重积分的计算法 * 利用直角坐标系计算二重积分 小结 利用极坐标系计算二重积分 double integral 二重积分的换元法 ﹡ 第二节 二重积分的计算法 第九章 重积分 * 本节介绍计算二重积分的方法: 二重积分化为 累次积分(即两次定积分). 二重积分的计算法 一、利用直角坐标系计算二重积分 * (1) 积分区域为： 其中函数 X－型 在区间 上连续. 二重积分的计算法 * 计算截面面积 ( 红色部分即A(x0) ) ＊ 二重积分的计算法 以D为底, 以曲面 为顶的曲顶柱体的体积. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法. 用二重积分的几何意义说明其计算法 是区间 为曲边的曲边梯形. 为底, 曲线 * 是区间 为底, 曲线 为曲边 的曲边梯形. 有: ＊ 二重积分的计算法 称为 先对y后对x的二次积分(累次积分) ) ( 0 x A * (2) 积分区域为： Y－型 先对x后对y的二次积分 也即 二重积分的计算法 其中函数 在区间 上连续. * 特殊地 注 D为矩形域: 则 a≤x≤b,c≤y≤d 二重积分的计算法 * 穿过区域且平行于y轴的直线 穿过区域且平行于x轴的直线 a b d