[数学]隐函数的导数、参数式函数的导数.ppt

导数与微分 第二章 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 高等数学Ⅰ（第二章） 第四节 隐函 数 的导数 参数方程所确定的函数 的导数 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、小结 3. 设 例 解 例 解 用第二个方程用隐函数求导法求 * * 第三节 高 阶 导 数 高等数学Ⅰ 3.间接法: 常用高阶导数公式 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 例 解 例 解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律,所以将式子恒等变形. 例 解 分析 此函数是6次多项式, 故不需将函数因式全乘出来. 因为 其中 为x的6次多项式, 故 又是求6阶导数, 练习 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: 2. 试从 导出 解： 同样可求 (见 P103 题4 ) 例 求圆周 在点 处的切线方程 解法一：由 得 （取正号） 引 例 一、隐函数的导数 所以 切线方程为 即 该解法需要解出一个变量，确定一个函数（化隐函数为显函数），如果求解方程困难，此解法失效。 如果不解出一个变量，而能求解，是一个不错的想法，下面给出隐函数求导方法。 解法二：方程 两边关于 求导 解之得 所以 以下步骤同解法一（略） 一、隐函数的导数 称形如 为显函数。 其特点是：方程左边是因变量，而右边则是含 有自变量的一个表达式。 而方程 确定了一个 y 关于 x 函数 同样 称之为隐函数。 定义: 由方程 所确定的函数 y = y (x)，称之为隐函数。 也确定了一个 y 关于 x 函数 问题:隐函数不易显化或不能显化时如何求导? 有些隐函数可以显化，如方程 有些则不能，如方程 隐函数的显化 隐函数求导法则 用复合函数求导法则, 并注意到其中 将方程两边对x求导. 变量y是x的函数. 例 解 注意 y = y (x) 代入上式 解得 隐函数的求导步骤： 因为y是x的函数, 所以 是x的复合函数, 例 解 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( x y x y y - - =  \ 所求切线方程为 显然通过原点. 例 (1) 解： 方程两边对x求导，得 (1)式两边对x求导，得 将(2)式代入，得 例 (2) 解 作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍 (1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数. 对数求导法, 它可以利用对数性质使某些函数的 求导变得更为简单. 适用于 方 法 先在方程两边取对数, --------对数求导法 然后利用隐函数的 求导法求出导数. 二、对数求导法 例 解 等式两边取对数得 隐函数 两边对x求导得 等式两边取对数得 ) ( ln ) ( x u x v . ￠ 例 解 等式两边取对数得 注 复合函数 改写成 只要将 幂指函数也可以利用对数性质化为: 再求导, 有些显函数用对数求导法很方便. 例如, 两边取对数 两边对x求导 x b + 解答 等式两边取对数 解答 例如 消去参数 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 由复合函数及反函数的求导法则得 ？ × 例 解 所求切线方程为 分子分母不要颠倒 * *