[数学]9 凸集分离定理_646704015.ppt

凸函数性质 * * 集合 内点： 补集： 开集： 闭集： 有界集 ： 紧集： 有界闭集称为紧集． -邻域： 性质： 定义：设S?En,若对?x(1),x(2)∈S及?λ∈[0,1],都有 λx(1)+(1-λ)x(2)∈S 则称S为凸集。 凸集分离定理 定义： 定理1： 证明： 定理1： 证明： 定理1： 证明： 定理1： 证明： 定理2: 证明： 定理3: 证明： 推论4: 定理5: 证明： 定理6: Farkas定理： 证明： Farkas定理： Gordan定理： 证明： Gordan定理： 证明： 证法正确吗？ 凸函数 凸函数：设S是En中的非空凸集， f(x)是定义在S上的实函数，如果对于每一对x1，x2?S及每一个a，0≤a≤1,都有 　　　f(ax1+(1－a)x2)≤a f(x1)+(1－a)f(x2) 则称函数f(x)为S上的凸函数．上式中，若≤变为，则称为严格凸函数。 若-f(x)为S的凸函数，则称f(x)为S上的凹函数． (a) 严格凸 x 凸 x 非凸 x (b) (c) (1) 设f1(x)，f2(x)是凸集S上的凸函数，则函数f1(x)+f2(x)在S上也是凸函数。 (2) 设f(x)是凸集S上的凸函数，则对任意的a≥0，函数af(x)是凸的。 推广：设f1(x)，f2(x), …, fk(x)是凸集S上的凸函数，ai≥0,则a1f1(x)+a2f2(x)+ …+ akfk(x)也是凸集S上的凸函数. (3) 设f(x)是凸集S上的凸函数，对每一个实数c，则集合 Sc＝{x | x?S，f(x)?c}是凸集。 (4)设S是En中的非空凸集，f是定义在S上的凸函数，则f在 S上的局部极小点是整体极小点，且极小点的集合是凸集． 证明： 凸函数的判别 梯度： Hesse矩阵： 方向导数 方向导数通常用下面的公式计算： 定理(一阶充要条件)： 证明： *