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[数学]3-5新田中学-数列的求和
●基础知识 一、等差、等比数列的综合问题 (1)若{an}是等差数列,则数列{can}(c>0,c≠1)为 数列; (2)若{an}为正项等比数列,则数列{logcan}(c>0,c≠1)为 数列; (3)若{an}既是等差数列又是等比数列,则数列{an}为 二、与银行利率相关的几类模型 1.银行储蓄单利公式 利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a+xar= 2.银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y= . 3.产值模型 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y= 4.分期付款模型 a为贷款总额,r为月利率,b为月等额本息还款数,n为贷款月数,则b= 解题思路:∵{an}是递增数列,∴an+1>an, 即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn.∴λ>-2n-1对于n∈N*恒成立, 而-2n-1在n=1时取得最大值-3,∴λ>-3,故选D. 答案:D 错因分析:数列是特殊的函数,可以用动态函数的观点研究数列,但必须时刻注意其“特殊”性,即:定义域为n∈N*.本题常出现如下错误: 二、实际应用错误. 2.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米,那么,到另一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08, 则bn=400×(1.08)n-1, 由题意可知an>0.85bn, 有250+(n-1)×50>400×(1.08)n-1×0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.∴到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. ●回归教材 1.(教材P1146题改编)夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7℃,已知山顶气温是14.1℃,山脚的气温是26℃,那么此山相对于山脚的高度是 ( ) A.1500米 B.1600米 C.1700米 D.1800米 解析:因a1=26℃,an=14.1℃,d=-0.7℃. ∴an=a1+(n-1)d,∴14.1=26+(n-1)×(-0.7). ∴n=18,∴其高度为(18-1)×100=1700. 答案:C 2.(教材P1253题改编)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂成两个)经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成 ( ) A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个 解析:a10=a1·q9=29=512(个). 答案:B 3.等比数列{an}的公比为q,则“q>1”是“对于任意自然数n,都有an+1>an”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:当a1<0时,条件与结论均不能由一方推出另一方. 答案:D 4.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比 ( ) A.q=-2 B.q=1 C.q=-2或q=1 D.q=2或q=-1 答案:A 5.(教材改编题)A、B两个工厂2009年元月份的产值相等,A厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同,B厂产值也逐月增加且月增长率相同,而2010年元月份两厂的产值又相等,则2009年7月份产值高的工厂是________. 解析:设两工厂的月产值从2009年元月起依次组成数列{an},{bn}, 由题意知{an}成等差数列,{bn}成等比数列,并且a1=b1,a13=b13.由于{an}成等差数列, 答案:A厂 数列知识范围内的综合应用,重点考查等差、等比数列之间的性质对比,因此,经常涉及数列与类比推理结合的问题,既考查了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力. 答案:C (2006·辽宁高考)在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于( ) A.2n+1-1 B.3n C.2n D.3n-1 命题意图:本题主要考查等比数列的概念、求和公式等综合应用. 解析:解法一:由{an}为等比数列可得an+1=an·q,an+2=an
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