上海交通学试卷A卷-MaJia-Jun.PDFVIP

上 海 交 通 ⼤ 学 试 卷(A 卷) (2016 ⾄2017 学年 第2 学期) 班级号 学号 姓名 课程名称 ⾼等代数与解析⼏何(⼆) 成绩 记号 • 矩阵⽤⼤写字母记, 对应⼩写字母代表矩阵中的元素. 例如矩阵A 中的第ij 个元素为a . A T 和A 分别代表矩阵A 的转置和共轭转置. 可⽤diagd d ij 1 n 表⽰对⾓线上为d d 的对⾓矩阵. 1 n • 向量⼀般理解为列向量, ⽤X 、Y 或Z 等字母表⽰, ⽤对应的⼩写字母代表其 T 分量. 例如向量X x x . 1 n ⼀、 [15 分] 考虑n n 矩阵 0 1 0 . 0 .. J .. . 1 0 0 对正整数k, 求Jk 的若当标准型. 证明: 令ei 为第i 个元素为1 其他元素为0 的列向量, 则en 为J 的循环向量. 对给定k, 1. 若k n, 则Jk 0. 2. 若0 k n, 设n kl r, 其中0 l, 0 r k 为整数. 显然 k t k l1 i. 对0 i r, 0 t l, J eni entki ⽽J eni 0; k t k l ii. 对r i n, 0 t l, J eni entki ⽽J eni 0. 所以Jk 的若当标准型恰有r 个⼤小为l 1 的幂零若当块和n r 个⼤小为l 的幂零若当 块. A 卷 总 12 页 第 1 页 题号 ⼀ ⼆ 三 四 五 六 我承诺，我将 得分 严格遵守考试纪律。 批阅⼈(流⽔阅) A 卷 总 12 页 第 2 页 ⼆、 [共20 分] 令A Matn n 是⼀个半正定的对称矩阵证. 对任意正整数k, 按如下 步骤, 证明: 存在唯⼀的半正定对称矩阵B 使得Bk A . (a) [5 分] 设 λ i 1 n 是A 的所有特征值, 取任意多项式p x 使得p λ λ 1k i i i 对任意i 1 n 成⽴(例如, 可取Lagrange 插值多项式). 令B p A , 则Bk