第四章 重心及截面的几何性质.pptVIP

第四章 重心及平面图形的几何性质 本章重点： 计算均质物体的重心坐标。 第一节 物体重心坐标公式 第二节 平面图形的几何性质 第一节　重心 重心：物体重力合力的作用点。重心相对于刚体的位置固定不变。 一、重心坐标公式 将物体分割成许多微小部分，其中某一微小部分Mi的重力为Wi，其作用点的 坐标为xi、yi、zi，重心C的坐标为xC、yC、zC。将各Wi向重心C简化： 物体的重力为： 应用合力矩定理，分别求物体的重力对x、y轴的矩，有 将物体随坐标系一起旋转90°，使y轴铅垂向下。对x轴应用合力矩定理，有： 物体重心C的坐标公式为： 二、均质物体的重心公式 若单位体积的重量γ=常量。以ΔVi表示微小部分Mi的体积， 均质物体的重心又称为形心。 代入重心公式得： 以V=∑ΔVi表示整个物体的体积，则有 和 ， 如果将物体分割的份数为无限多，式子可改写成积分形式： 三、均质平板重心的坐标公式和平面图形形心公式 厚度为δ均质平板，其重心在其对称面内。取坐标面xy和对称面重合，平板重心的zC为零。设对称面图形的面积为A，分割平面，某一微小部分的面积为ΔAi，重力为Wi， ，平板的重力 W= 该式亦为平面图形形心公式。 无限分割平面，平面图形的形心公式的积分形式为： 代入重心公式，得均质平板的重心公式： 对于均质物体，如其几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心，则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。 1.观察法 2.组合法 将复杂形体视为简单形体组合，这些简单形体的重心已知的或易求，这样整个形体的重心就可用坐标公式直接求得。 四、确定重心的常用方法 3、负面积法 形体上若有挖去的部分，把挖去的部分视为负值（负体积或负面积），利用坐标公式来求形体的重心。 4、积分法 对规则形体，适当的选取微元，可用定积分求重心。 例4-1 角钢截面的尺寸如图所示。试求其形心的位置。 解：（一）组合法 取Oxy坐标系如图所示。 （二）负面积法 C1 C2 x y 例4-2 A1, A2, A3。 C1 C3 C2 例4-3 用积分法求扇形重心公式。 θ dθ dA= 解： (1)悬挂法 4.实验法 过点A将板悬挂，作悬挂绳延长线AB ， 过D点将板悬挂， 得DE线，两线的交点为板的重心。 问：悬挂法的依据是什么？ 二力平衡公理 (2)称重法 先称出物体的重量，然后将其一端支于固定支点A，另一端放在磅秤上再称得一数值，由平衡方程确定重心的位置。 图示连杆，秤得其重量为W，第二次秤的读数等于秤对连杆的约束反力。由平衡方程 FNB FNA 第二节 截面的几何性质 一、静矩 设该平面图形的形心C的坐标为xC 、yC ， 若xC = 0、yC= 0，则Sy = 0、Sx = 0。可见，若某轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。 静矩可正，可负，可为零，具有长度的三次方量纲。 二、惯性矩和惯性积 1.惯性矩 惯性矩恒为正值，具有长度的四次方的量纲。 i：惯性半径 组合图形对某轴的惯性矩 2．计算惯性矩的平行移轴公式 4.惯性积 极惯性矩Ip恒为正值，具有长度的四次方的量纲。 3.极惯性矩 惯性积和惯性矩的量纲相同，但可正、可负，可为零。 如果图形有一根（或一根以上）对称轴，则此对称轴为惯性主轴。 通过形心，则称为形心惯性主轴，图形对这对轴的惯性矩称为 5.惯性主轴 若图形对一对正交坐标轴x、y的惯性积Ixy为零。该对坐标轴 称为惯性主轴，对应的惯性矩Ix、Iy称为主惯性矩。若惯性主轴 形心主惯性矩。 例4-3　试求矩形对其形心轴x、y以及x1的惯性矩Ix、Iy、Ix1 。 解：取与x轴平行的狭长条为微面积，则dA = bdy。 再取与y轴平行的狭长条为微面积 根据平行轴公式 例4-4 试求圆形和圆环形图形对圆心的极惯性矩Ip以及对各自形 心轴x、y的惯性矩Ix、Iy。 解：（一）圆形 在圆形上距圆心为ρ处取宽度为dρ的细 圆环为微面积 圆形是中心对称的图形，对x轴和y轴的惯性矩相等，即Ix = Iy 。 将计算Ip的积分式的积分上、下限 对应改为 、 （二）圆环形 一、重心公式 1. 一般物体 2. 均质物体 3.均质平板 小 结 二、确定重心的常用方法 1.观察法； 2.组合法； 3.负面积法； 4.积分法； 5.实验法