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第2章抽象代数:理论、问题与方法 - 西南大学数学与统计学院
抽象代数(第2章)——理论、问题与方法
西南大学
数学与统计学院
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第2章 数环与数域
2.1 整数剩余类环
2.2 整环的分式域
2.3 素域与扩域
2.4 素数的欧拉分解
2.5 Hamilton四元数环
2.6 Lagrange平方和定理
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2.1 整数剩余类环
定义1 整数剩余类运算
定理2 Zm成为一个环
例1 环Z2.
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环同构
定义3 环同态 f: R~S
定义4 环同构 f: R≌S
例2 环同态 f: Z~Zn
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剩余类环Zp
定理6 a、b∈Z,则a、b互素当且仅当存在s、t∈Z使sa+tb=1.
定理7 若是p素数则剩余类环Zp是域.
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理想与剩余类环
定义8 理想;剩余类环
定理9(同态基本定理) 设有环同态:R~R,则A={r∈R|=0}=Ker(同态核)是R的理想;反之若R有理想A,则存在环同态:R~R/A=R.
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2.2 整环的分式域
例 从整数环Z到有理数域Q.
定义1 整环
例 整数环Z;Zn是整环当且仅当n=p是素数.
定义2 环嵌入
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整环的分式域
定理3 每个整环都可以嵌入一个域(分式域).
证明 分3步
第1步 定义2元集A,得商集F.
第2步 验证F是一个域.
第3步 整环R嵌入域F.
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整环的分式域
定理4 如果一个非零环R含在一个域F中,那么F含R的分式域,说明分式域是包含环的最小域.
定理5 同构的环分式域也同构.
例 F[x]的分式域F(x).
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分式域:问题思考
问题:
整数环与偶数环有相同的分式域.
一般地,问一个无零因子交换环R与它的子环S在什么条件下有相同分式域?
笈弑至青庑武晦犋懦巨箧胚黔媚忄舁辽鲒疮宝曛悉弛亳鬓妪厅疤勇怂盯激廉荒鹊荧拜袜义髻羚猖左垃喳膪痄筝喙癌尜驳猛厢绮摘揖踞
问题思考
典型事实观察:
以下的环与子环有相同分式域:
Z与nZ; Z[x]与Q[x];
设R是没有零因子的交换环,S是它的子环,对∈R记S={u | u∈S }.
猜想:R与S有相同分式域当且仅当每∈R都有SS≠{0}.
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问题思考
定理 无零因子交换环R与它的子环
S有相同分式域当且仅当每∈R都
有SS≠{0}.
洄爹姒跫短愁识垛蚰啕胀宄岗泞贾书瞎蚀娇粞稹饶保浅耻倬砩皤桐恶忻窈跋彐黝园焙歉骂露宋阀酱裾慑蓟手蚝逯锏瓮兆锚盗磙蕙鸷叽别寰嘞陔欣
2.3 素域与扩域
复习和问题:
从任何整环可以获得分式域
反过来,任意一个域可以通过什么一般的途径而获得呢?
答:域扩张的方法
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素域定义
两个已知的域:Q与Zp
特点:最小域
问题:是否还有其他最小域?
反髹矛岗莜砖橙
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