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第2章 系统的数学模型 数学模型的几种表示方式 建立控制系统数学模型的方法有 ： 分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。 实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。 分析法建立系统数学模型的几个步骤： 建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。 实验法－基于系统辨识的建模方法 已知知识和辨识目的 实验设计--选择实验条件 模型阶次--适合于应用的适当的阶次 参数估计--最小二乘法 模型验证—将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统的传递函数。 即， 例：积分电路 输入为r(t)，输出为c(t) 运动方程： 传递函数： （T=R1C） 其它积分环节举例 例 RC电路  设：输入——ur(t) 输出——uc(t) 消去i(t)，得到： 运动方程： 传递函数： （Tc=RC） 当Tc1时，又可表示成： 其他微分环节举例 环节的并联总的传递函数为 得闭环传递函数为 对于正反馈连接，则闭环传递函数为 方框图的变换和简化 有了系统的方框图以后，为了对系统进行进一步的分析研究，需要对方框图作一定的变换，以便求出系统的闭环传递函数。方框图的变换应按等效原则进行。所谓等效，即对方框图的任一部分进行变换时，变换前、后输入输出总的数学关系式应保持不变。除了前面介绍的串联、并联和反馈连接可以简化为一个等效环节外，还有信号引出点及比较点前后移动的规则。 例 化简图(a)所示系统方框图，并求系统传递函数 例 试化简如图所示系统的方框图，并求闭环传递函数。 这是一个交错反馈多路系统，采用引出点后移或前移，比较点前移等，逐步变换简化，可求得系统的闭环传递函数为 方框图的变换与简化 § 2.4 信号流图 信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图示方法，将信号流图用于控制理论中，可不必求解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并可据此采用梅逊(Mason)公式求出系统的传递函数。 考虑如下简单等式 这里变量xi和xj可以是时间函数、复变函数，aij是变量xj变换(映射)到变量xi的数学运算，称作传输函数，如果xi和xj是复变量s的函数，称aij为传递函数Aij(s)，即上式写为 信号流图的定义 变量xi和xj用节点“○”来表示，传输函数用一有向有权的线段(称为支路)来表示，支路上箭头表示信号的流向，信号只能单方向流动。 信号流图 当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线 惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数 式中 2. 积分环节 输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程 其传递函数 式中Ti为积分时间常数。 积分环节的单位阶跃响应为 它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。 4. 微分环节 理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程 其传递函数 式中Td称微分时间常数 它的单位阶跃响应曲线 如图所示，理想微分环节实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节，其传递函数 其单位阶跃响应为 曲线如下图所示，实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降，若K值很大而Td值很小时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。 5. 二阶振荡环节(二阶惯性环节) 二阶振荡环节的动态方程为 其传递函数 式中 为无阻尼自然振荡角频率，ζ为阻尼比，在后面时域分析中将详细讨论。 图中所示为RLC网络，输入为ui(t)、输出u0(t)，其动态特性方程 其传递函数 式中 6.延迟环节(时滞环节