中考图形相似源于课本题.docVIP

适合：九年级人教“图形相似” 重视常见题，轻松应对中考题 河北省怀来县桑园中学（075441） 古金龙 我们每天要作大量的数学问题，而中考试题往往以原创或改编题出现。中考题大部分都有其原始题目，而且重要知识点的考察也不变，只要善于发现总结，平常做题就可以一顶百。现在举一例，以抛砖引玉。 题目：在锐角△ABC中，BC＝6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN。 求正方形的边长。 说明：大家对图1并不陌生吧，对于其题目也很熟悉哟。主要考察 相似三角形的性质——高的比等于相似比.易求高AH=4，△ABC∽△AMN 所以， =,设正方形边长为X,则=,解得X=2.4. 下面我们看中考试题怎么对这道题改编的： 一、操作探究，阅读证明 例1（2008益阳）如图2，△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上. Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF； Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形. 小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分. Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. 设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) . Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB边上任取一点G’，如图3作正方形G’D’E’F’； ②连结BF’并延长交AC于F； ③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求. 你认为小明的作法正确吗？说明理由. 解析：Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形， ∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60° ∴△BDG≌△CEF(AAS) Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH， 求得 　　　　　　　　　　 由△AGF∽△ABC得： 解之得：(或) 　　　　　　　 解法二：设正方形的边长为x，则 　　　　　　　　　在Rt△BDG中，tan∠B=， ∴ 解之得：(或) 解法三：设正方形的边长为x， 则 由勾股定理得： 解之得： Ⅱb.解： 正确 由已知可知，四边形GDEF为矩形 ∵FE∥F’E’ ， ∴， 同理， ∴ 又∵F’E’=F’G’， ∴FE=FG 因此，矩形GDEF为正方形 说明：本题主要考查相似、全等三角形等知识，以实际操作为背景，培养分析问题能力。 二、运动变化，综合运用 例2（2008孝感）锐角中，，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为． （1）中边上高 ；（2分） （2）当 时，恰好落在边上（如图5）；（4分） （3）当在外部时（如图6），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？（6分） 解析：（1）； （2）（或）； （3）设分别交于，则四边形为矩形． 设，交于（如图7） ，． ， ． ，即 ．分 ． 配方得：． 当时，有最大值，最大值是6． 说明：本题主要考查相似、二次函数（最值）知识。以动态为背景，从特殊到一般，培养了综合运用能力。 有以上两例可以看出，有了常见题目做基础，对于综合（压轴）题，我们做起来便很轻松。可见，多留意平常所做过的试题，达到会一题，通百题，对于考试的发挥会有很大的帮助，缓解考试的压力。当然，这也需要我们平时多总结问题所考察的知识点。 巩固练习： （ 2009江津）锐角△ABC中，BC＝6,两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作矩形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0） 答案： 图1 H D A B C D E F G 图2 A B C D E F G 图3 G’ F’ E’ D’ A B C D E F G 图4 H A A B B C C M M N N P P Q Q D D 图5 图6 A B C M N P Q D 图7 G E F 图8