[计算机硬件及网络]计算机图形学10_曲线曲面参数表示的基础知识.ppt

曲线和曲面 最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为： P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; ??? 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为： 其参数形式可表示为： 参数连续性 零阶参数连续性，记作C0，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。如图所示。 一阶参数连续性，记作C1，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数。如图所示。 二阶参数连续性，记作C2，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。如图所示。 习题6.1 参照Hermite三次曲线的几何形式，试用B[P0 P1 P’0 P’1 P’’0 P’’1]T , 推导相应五次曲线的调和函数和系数矩阵M 习题讲解 解：设Hermite五次曲线的几何形式为： P(t)=a5t5 + a4t4 + a3t3 + a2t2 + a1t + a0 其中 t∈[0,1] 按题意，已知曲线两端点的坐标值P0 P1 曲线两端点的一阶导数值P’0 P’1 曲线两端点的二阶导数值P’’0 P’’1 则求出系数a5,a4,a3,a2,a1,a0 则P(t)就可确定； 由于P(t)= a5t5 + a4t4 + a3t3 + a2t2 + a1t + a0,其中 t∈[0,1] P’(t)=5a5t4 + 4a4t3 + 3a3t2 + 2a2t + a1 P”(t)=20a5t3+12a4t2+6a3t+2a2 P0=P(0)=a0 P1=P(1)=a5+a4+a3+a2+a1+a0 P0’=P’(0)=a1 P1’=P’(1)=5a5+4a4+3a3+2a2+a1 P0”=P”(0)=2a2 P1”=P”(1)=20a5+12a4+6a3+2a2 所以 a0 = P(0) a1 =P’(0) a2 =P”(0)/2 a3 = 10P(1)- 10P(0) - 4P’(1) - 6P’(0) + P”(1)/2 - 3P”(0)/2 a4 =-15P(1)+ 15P(0) + 7P’(1) + 8P’(0) - P”(1) - 3P”(0)/2 a5 = 6P(1)- 6P(0) - 3P’(1) - 3P’(0) - P”(0)/2 + P”(1)/2 = P(t)= [ -6P(0) + 6P(1) - 3P’(0) - 3P’(1) - P”(0)/2 + P”(1)/2] t5 +[+15P(0) - 15P(1) + 8P’(0) + 7P’(1) + 3P”(0)/2 ] t4 +[-10P(0) + 10P(1) - 6P’(0) - 4P’(1) - 3P”(0)/2 + P”(1)/2] t3 + [ P”(0)/2] t2 + [P’(0)] t +P(0) 整理得： P(t) = (-6t5 + 15t4 - 10t3 + 1) P(0) + (6t5-15t4+10t3) P(1) + (-3t5 + 8t4 -6t3 + t) P’(0) + (-3t5 +7t4-4t3) P’(1) + (-t5/2+ 3t4/2-3t3/2+t2/2) P”(0) + (t5/2-t4+t3/2) P”(1) 故调和函数为： F(0)= -6t5 + 15t4 - 10t3 + 1 F(1)= 6t5 -15t4+ 10t3 F(2)= -3t5 + 8t4 -6t3 + t F(3)