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自控第四章作业答案
第四章 答案
4－1 (1)解:,其中:
,P的各阶主子式:
所以,此二次型函数不定.
(2) 解: ,其中
,P的各阶主子式:
所以,P为负定的.
4-2 解:坐标原点为该系统的一个平衡点,选取李亚普诺夫函数为,其中:
,取Q=I得:
,展开可得,其中:
解之得:
要使矩阵P为正定的,则应使:
于是得:,即:
综上所述在平衡点出渐进稳定的充要条件为:
系统为线性的,所以满足上述条件即可满足大范围渐进稳定.
4－3 （1）解:求平衡点，，可得为唯一的平衡点。
设,则
,令
则
所以负定,又因为该系统为线性系统,所以系统大范围渐进稳定.
（2）解: 求平衡点，，可得为唯一的平衡点。
,
即,又因为该系统为线性系统,所以系统大范围渐进稳定.
4－5 解:平衡点:,得:
对于平衡点:得:，
取，
则
所以系统在原点处渐进稳定.
4－7 证明：令，可得平衡点为。
取，
所以。
假设，区分两种情况，，均能推出只有在才能得到，因此该非线性系统是渐进稳定的。
另：当，（平衡点为唯一的平衡点），所以该非线性系统在是大范围渐进稳定。
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