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1--1 数列及其极限 2 数列的极限
* 通过上面演示实验的观察: 但对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它? 这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注 上述定义称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质： 1） ε的任意性， |xn－a|＜ε定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求。 2）N是一个特定的项数，与给定的ε有关，重要的是它的存在性。 在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示 |xn－a| ＜ ε n ＞ N 一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n ＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。 数列极限的几何意义 使得 N 项以后的所有项 都落在a点的ε邻域 即在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 *
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