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* * 3.3.2 子博弈完美纳什均衡 定义：如果一个完美信息的动态博弈中，各博弈方的策略构成的一个策略组合满足，在整个动态博弈及它的所有子博弈中都构成纳什均衡，那么这个策略组合称为该动态博弈的一个“子博弈完美纳什均衡”。 子博弈完美纳什均衡能够排除均衡策略中不可信的威胁和承诺，因此是真正稳定的。 逆推归纳法是求完美信息动态博弈子博弈完美纳什均衡的基本方法。 * * 子博弈、子博弈完美纳什均衡and逆推归纳法 子博弈是动态博弈中满足一定条件的局部所构成的次级博弈 在一个完美信息的动态博弈中, 策略组合 (s1,…, sn ) 是一个子博弈完美纳什均衡，如果： (1)它是原博弈(静态博弈)的纳什均衡 (2)它在每一个子博弈上是纳什均衡 逆推归纳法 (Backwards induction method ): 从动态博弈的最后一个阶段或最后一个子博弈开始, 逐步向前倒推以求解动态博弈的方法是求完全且完美信息动态博弈中子博弈完美纳什均衡的最基本方法 * * 例子： （不借-不打，不分）和（借-打，分）都是纳什均衡。 但后者不稳定。是因为在第三阶段的子博弈中，选择“打”，不是该子博弈的纳什均衡，所以该策略组合不是子完美纳什均衡。 乙 甲 不借 借 不分 分 （1，0） （0，4） （2，2） 乙 （-1，0） 打 不打 * * 子博弈完美纳什均衡能够排除均衡策略中不可信的威胁和承诺，因此是真正稳定的。 对于子博弈精炼纳什均衡的这一特点, 我们可以用一个形象化的比喻来加以说明。某一个人五百年前的祖宗(子博弈完美纳什均衡), 是从五百年以来到他本人(子博弈之一)为止的前面任何一代人(子博弈之一)的祖宗, 而不只是其中某几代人(子博弈之一)的祖宗。他本人又成为他后面任何一代人(子博弈之一)的祖宗。 * * 试用逆向归纳法解下题 以下文字改编自《科学美国人》杂志中IanStewart的《凶猛海盗的逻辑》 海盗，大家听说过吧。这是一帮亡命之徒，在海上抢人钱财，夺人性命，干的是刀头上舔血的营生。在我们的印象中，他们一般都瞎一只眼，用条黑布或者讲究点的用个黑皮眼罩把坏眼遮上。他们还有在地下埋宝的好习惯，而且总要画上一张藏宝图，以方便后人掘取。不过大家是否知道，他们是世界上最民主的团体。参加海盗的都是桀骜不驯的汉子，是不愿听人命令的，船上平时一切事都由投票解决。船长的唯一特权，是有自己的一套餐具——可是在他不用时，其他海盗是可以借来用的。船上的唯一惩罚，就是被丢到海里去喂鱼。 * * 海盗分金问题 现在船上有若干个海盗，要分抢来的若干枚金币。自然，这样的问题他们是由投票来解决的。 投票的规则如下： 先由最凶猛的海盗来提出分配方案，然后大家一人一票表决，如果有50%或以上的海盗同意这个方案，那么就以此方案分配，如果少于50%的海盗同意，那么这个提出方案的海盗就将被丢到海里去喂鱼； 然后由剩下的海盗中最凶猛的那个海盗提出方案，依此类推。  * * 我们先要对海盗们作一些假设： ? 1)每个海盗的凶猛性都不同，而且所有海盗都知道别人的凶猛性，也就是说，每个海盗都知道自己和别人在这个提出方案的序列中的位置。另外，每个海盗的数学和逻辑都很好，而且很理智。最后，海盗间私底下的交易是不存在的，因为海盗除了自己谁都不相信。 2)一枚金币是不能被分割的，不可以你半枚我半枚。 3)每个海盗当然不愿意自己被丢到海里去喂鱼，这是最重要的。 ? * * ? ? 4)每个海盗当然希望自己能得到尽可能多的金币。 ? 5)每个海盗都是现实主义者，如果在一个方案中他得到了1枚金币，而下一个方案中，他有两种可能，一种得到许多金币，一种得不到金币，他会同意目前这个方案，而不会有侥幸心理。总而言之，他们相信二鸟在林，不如一鸟在手。 ? 6)最后，每个海盗都很喜欢其他海盗被丢到海里去喂鱼。在不损害自己利益的前提下，他会尽可能投票让自己的同伴喂鱼。  * * 问题： 如果有10个海盗要分100枚金币，将会怎样？ * * 赵 钱 孙 李 周 吴 郑 王 冯 陈 100 0 99 0 1